感謝鋼琴老師
(2)計算錯誤
(3)頭昏了，想得太快

想請問如何求得除以(x^3-1)^2的餘式?

我只會愚蠢的
令f(x)=(x^2+x+1)q(x)+r(x)
因(x^2+x+1)f(x)除以(x^2+x+1)必定整除，故求商得
f(x)=2(  (sum_k=0^99  (x^3-x^2)x^3k)  +1)+(sum_k=0^32  (x^2-x)x^3k)+(sum_k=0^19  (x^2-x)x^3k)
同乘(x-1)得(x-1)f(x)=(x^3-1)q(x)+(x-1)r(x)
以x^3=1帶入(x-1)f(x)降階得(x-1)(2( 100-100x^2+1)+33(x^2-x)+20(x^2-x))=(x-1)r(x)
=>r(x)=-147x^2-53x+202
再r(x)除以(x^2+x+1)得94x+349

以下方法為突發奇想
是不是都能這樣做不知道XD

令\(y=x^3\)
定義\(H(y)=2x^2y^{100}+xy^{33}+xy^{20}+2\)
找\(H(y)\)除以\((y-1)^2\)的餘式
利用泰勒展開式：\((200x^2+53x)(y-1)+2(x^2+x+1)\)
還原回去展開就可以得到\(200x^5+53x^4-198x^2-51x+2\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 14:35 編輯 ]

感謝分享，看起來挺神奇的
我個人感覺要做微分的話，似乎x不能當作常數看待
可是算出來的答案卻是對的，可能得請其他老師解說緣由

填充6

計算第 1 題
請問答案是 4 嗎？

化簡\(|\log(\displaystyle\frac{|\sin(2\theta)|}{2})-2\log(|\cos\theta|)|=5-\tan\theta\)
得\(|\log(|\tan\theta|)|=5-\tan\theta\)
令\(x=\tan\theta\)
原式：\(|\log|x||=5-x\)
又\(y＝5-x\)與\(y＝|\log|x||\)有三個交點\(A(a,5-a)\)、\(B(b,5-b)\)、\(C(c,5-c)\)
\(\tan\theta＝a\)、\(\tan\theta＝b\)、\(\tan\theta＝c\)在\(0\)到\(2\pi\)各有2個解
因此共有6個解。

若有錯誤，再請指正。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-3-10 07:41 編輯 ]

10.
\(x\)、\(y\)為任意實數，定義：\(f(x,y)=\sqrt{(2x-2)^2+(2y-4)^2+(2x-y+9)^2}+\sqrt{(2x+2)^2+(2y+6)^2+(2x-y+11)^2}\)求\(f(x,y)\)的最小值　　　。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

微分的想法很棒，幫你補上過程
\( 2x^{302}+x^{100}+x^{61}+2=(x^2+x+1)f(x)=(x^2+x+1)[(x^2+x+1)Q(x)+(Ax+B)] \)
\( = (x^2+x+1)^2Q(x)+(x^2+x+1)(Ax+B) \)
微分
\( 604x^{301}+100x^{99}+61x^{60}=2(x^2+x+1)(2x+1)Q(x)+(x^2+x+1)^2Q'(x)+(2x+1)(Ax+B)+(x^2+x+1)A \)
由廣義餘式定理，代入\( x^3=1 \)：
\( 604x + 161 = (-A+2B)x+(B-2A) \) (右邊是長除法的結果)
比較係數即可得\( A=94,B=349 \)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2025-3-10 08:54 編輯 ]

填充9，想詢問各位老師，答案是否有誤