第一部分填充題第 5 題，因符號誤植，本題送分。
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110.04.20
最低錄取分數：73分
複試人數：14人

6.
若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
(我的教甄準備之路　三角形面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)

16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)　　　公尺。

用12根鋼條架構出一個正六面體的裝置藝術，並在其底面裝上不透明的灰色面板\(OADC\)。今將其協立在公園的平地上。為了穩固此裝置
藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)、\(\overline{CC'}\)與\(\overline{DD'}\)。已知此正六面體的邊長為7公尺，且\(\overline{AA'}\)的長為2公尺，\(\overline{CC'}\)的長為3公尺。試回答下列問題：
(1)試問鐵柱\(\overline{DD'}\)的長為多少公尺？
(2)試問地面上的平行四邊形\(OA'D'C'\)的面積為多少平方公尺？
(3)試問鐵柱\(BB'\)的長為多少公尺？
(108北區第一次模擬考數甲，https://jacobmath.com/wp-content ... %95%B8%E7%94%B2.pdf)

第5題打錯字應該會送分

第一部分後面5題來不及想。

請教10.16

10.
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴式\(\cases{a_1=1\cr a_n=2a_{n-1}+2^n(n>1)}\)，試求一般式\(a_n=\)　　　。
[解答]
設 \(b_n=a_n-n\cdot 2^n\)，則 \(b_1=-1\)，\(b_n=2b_{n-1}\)
得 \(b_n=-2^{n-1}\)，\(a_n=n\cdot 2^n-2^{n-1}\)

16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)　　　公尺。
[解答]
坐標化
\(O(0,0,0),A(4,0,3),B(-3/2,5\sqrt{3}/2,2)\)，\(B\) 是 \(A\) 的 \(x,z\) 分輛對調,調整 \(OB\) 長度為 \(5\) ,高度為 \(2\) 得到的
\(C\) 將 \(OA\)、\(OB\) 向量外積調整長度 得 \(C(-3\sqrt{3}/2,-5/2,2\sqrt{3})\)

16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)　　　公尺。
[解答]
定座標\(O(0,0,0),A(5,0,0),B(0,5,0),C(0,0,5)\)，地面為\(ax+by+cz=0\)，不失一般性，令\(a,b,c\ge0\)
\(\displaystyle\frac{5a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3,\frac{5b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=2\)，化簡可得\(3b^2=c^2\)
所求\(\displaystyle=\frac{5c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\sqrt{3}\cdot2=2\sqrt{3}\)

想請教8、11，謝謝。

第8題
箱子裡有3個1號球，3個2號球，3個3號球，\(\ldots\)，3個22號球，共66個球。隨機從箱中取球，一次取1球，取後不放回，取3次，其值依序為\(x_1,x_2,x_3\)，則\(x_1<x_2<x_3\)的機率為　　　。
[提示]
選3個數字，每個數字3顆選1顆，固定次序1種排列

第11題
將4個相同的紅球與4個相同的藍球隨意排成一列，由左至右每個球依序對應標號\(1,2,3,\ldots,8\)，則4個紅球對應號碼和小於4個藍球對應號碼和的排列數共有　　　種。
[提示]
（全部-總和相等）/2

第 8 題
箱子裡有3個1號球，3個2號球，3個3號球，\(\ldots\)，3個22號球，共66個球。隨機從箱中取球，一次取1球，取後不放回，取3次，其值依序為\(x_1,x_2,x_3\)，則\(x_1<x_2<x_3\)的機率為　　　。
[解答]
從 1 ~ 22 這 22 個數字中，選 3 個有 C(22，3) 種方法
所求 = (3/66) * (3/65) * (3/64) * C(22，3)

第 11 題
將4個相同的紅球與4個相同的藍球隨意排成一列，由左至右每個球依序對應標號\(1,2,3,\ldots,8\)，則4個紅球對應號碼和小於4個藍球對應號碼和的排列數共有　　　種。
[解答]
全部 8! / (4!4!) = 70 種

兩者號碼和都 = 18，有以下 8 種
(1，2，7，8)
(1，3，6，8)
(1，4，5，8)
(1，4，6，7)
(2，3，5，8)
(2，3，6，7)
(2，4，5，7)
(3，4，5，6)

所求 = (70 - 8) / 2 = 31 種

謝謝 Almighty 老師。
謝謝 thepiano 老師。