填充12
y=18/(25x) 是一個雙曲線，第一個不等式得知要同時在 y=x 或 y=18/(25x) 的上方或下方（可用ggb或desmos畫畫看）
第二個不等式得知在園內或邊界上
透過線性規劃可知答案要取通過圓和雙曲線的點（看不出來的話就把直線和圓的交點也算出來比大小）
令x=1+cost,y=1+sint 代入xy=18/25 得到 sint*cost+sint+cost=-7/25（其實到這一步可以猜答案了，猜不到就繼續算）
令sint+cost=k,此時sint*cost=(k^2-1)/2 解 k再回來解 sint, cost 即可

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-3-8 09:49 發表
請教填充1，f(x) 並沒有定義它是多項式函數，要怎麼確定這件事？

等式左右對x微分, 就可以知道了

7. 不太聰明的方法，可能也有一點敘述不清，還請指教
考慮 \(x<0\) 的情況，兩圖形要有3交點
首先畫圖易知\(f(0)=6a^2-8<0\)，即\(\displaystyle a^2<\frac{4}{3}\)
又因為\(f(x)\)必定通過原點，所以只要滿足上述條件並且保證讓f(x)與\(y=x+2\)有非相切的交點即可
考慮\(f(x)=x^3-3a^2x\) 與 \(g(x)=x+2\)需要有兩個交點

\(x^3-(3a^2+1)x\) 的極大值為\(\displaystyle \frac{2(3a^2+1)\sqrt{3a^2+1}}{3\sqrt{3}}<2\)
解得\(\displaystyle a^2>\frac{2}{3}\)
故\(\displaystyle\frac{2}{3}<a^2<\frac{4}{3}\) ，所以\(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}<a<\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 11:13 編輯 ]

想詢問填充6,11,14 謝謝

計算第 1 題
x^2/9 + y^2/5 = 1
a = 3，b = √5，c = 2
F_1(-2，0)、Q(-9/2，0)，B(x，y)
y^2 = 5 - (5/9)x^2

x = -9/2 是橢圓的準線
作 BP 垂直 x = -9/2 於 P
則 BF_1/BP = c/a = 2/3
BP = x + 9/2，BF_1 = (2/3)x + 3，PQ = -y

QB⊥AB
QF_1^2 - BF_1^2 = BQ^2 = BP^2 + PQ^2
(5/2)^2 - [(2/3)x + 3]^2 = (x + 9/2)^2 + [5 - (5/9)x^2]
x = -21/8 or -12(不合)

B(-21/8，-(5/8)√3)

直線 L 之斜率為 √3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 11:52 編輯 ]

11.設\(g(x)=f(x+2)-2\)，\(h(x)=f(2x+1)\)
因為\(g(x)\)為奇函數，可以得到\(f(x+2)+f(-x+2)=4\)
因為\(h(x)\)為偶函數，可以得到\(f(2x+1)=f(-2x+1)\)

由奇函數的條件，有
\(f(2)=f(0)\)
\(f(3)=f(-1)\)
\(f(4)=f(-2)\)...
由偶函數的條件
\(f(3)+f(1)=4\)
\(f(4)+f(0)=4 \Rightarrow f(4)+f(2)=4\)
\(f(5)+f(-1)=4 \Rightarrow f(5)+f(3)=4\)

因此\(f(1),f(2)\cdots f(2025)\)每四個一組為一循環
\(f(1)=0,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=2 \cdots f(2025)=0\)
為\(8\times 506=4048\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 13:44 編輯 ]

第 14 題
已知函數\(f(x)=x^2-x+\sqrt{2x^4-6x^2+8x+16}\)在\(x=a\)時有最小值\(m\)，則數對\((a,m)=\)　　　。
[解答]
f(x) = x^2 - x + √(2x^4 - 6x^2 + 8x + 16)
= √2{|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]}

|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
即 y = x^2 上一點 A(x，x^2) 到直線 y = x 之距離與到 B(-2，2) 之距離和
點 A 為 y = -x 與 y = x^2 之交點
最小值為 OB = 2√2

m = 4

-x = x^2，x = 0 or -1

所求為 (0，4) or (-1，4)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 13:54 編輯 ]

第 6 題
如圖，上底 6，下底 1，腰長 x 之等腰梯形
紅高 = (√3/2) * 6 - x - (√3/2) * 1 = (5/2)√3 - x

((5/2)√3 - x)^2 + (5/2)^2 = x^2
x = 5/√3

三角錐之高 = √[(5/√3)^2 - (√3/3)^2] = 2√2

三角錐之體積 = (1/3) * (√3/4) * 2^2 * 2√2 = (2/3)√6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 17:16 編輯 ]

填充6
請教piano老師，這裡的式子為何多需要除以2

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