我比較好奇的是，為什麼要限定a,b都是「正」整數？

如果a,b擴展到所有的整數.....
當a,b至少一個是0時，原式等於a^2或b^2，確是完全平方數，這是trivial解
當a,b皆為負整數時，因為負負得正，所以原式與a,b皆為正整數時的值一樣；若「a,b皆正」正確，則「a,b皆負」必然也正確
當(a,b)為(1,-1)或(-1,1)時，原式分母為0，無意義
當a,b一正一負且a*b≦-2時，原式是負數，所以不會有正整數解，當然也不會是完全平方數

所以只要限定a,b皆為整數，且a*b≧0即可，不一定要兩數皆正

(a^4+b^4)/(ab+1)=k
(a,b,k)=(2,128,1044496), (3,64,86929), (8,84,73984), (16,40,4096)
看不出有什麼規則