引用:
原帖由 laylay 於 2021-11-22 11:20 發表
若k給定任意奇數的平方,那a,b也都一定有正整數解嗎?
其實做法一樣
令 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k,其中 k 是完全平方數
取 a = 2m - 1,其中 m 是正整數
整理可得 b^2 - (2m - 1)kb + ((2m - 1)^2 - k) = 0
b = {(2m - 1)k + √[(2m - 1)^2k^2 - 4((2m - 1)^2 - k)]} / 2 (取其較大的根就好)
最後再取 k = (2m - 1)^2
此時 b = (2m - 1)k = (2m - 1)^3
即可證明若 k 給定任意奇數的平方,a 和 b 仍有正整數解