標題:
114台南一中
[打印本頁]
作者:
kobelian
時間:
2025-3-8 15:13
標題:
114台南一中
114台南一中
附件:
114臺南一中教師甄選試題-數學科.pdf
(2025-3-8 15:13, 452.24 KB) / 該附件被下載次數 546
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7316&k=58dce2ab1891b6329e15a86bfd83799b&t=1742000187
附件:
114臺南一中答案_更正版.pdf
(2025-3-11 07:58, 241.04 KB) / 該附件被下載次數 394
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7317&k=1e07b03537abb2d0099bfba00e79a88e&t=1742000187
附件:
114臺南一中_第9題校方提供的解析.pdf
(2025-3-11 07:59, 43.77 KB) / 該附件被下載次數 190
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7327&k=41b19bb0a194e2bb4285297b4f6d4bab&t=1742000187
作者:
vln0106
時間:
2025-3-8 19:19
標題:
回覆 1# kobelian 的帖子
請教一下 填充11 計算3 謝謝老師們
作者:
BambooLotus
時間:
2025-3-8 23:09
想確認一下填充9,我有算出答案是2^(5/6)×3^(7/6),不確定有沒有錯
有計算錯誤,更正一下,a是3sqrt6,但還是與原答案不符
令A,B中點是M,C,D中點是N,MN垂直OM
OM平行(1,1,1),ON平行(1,1,0),
MN是正四面體的歪斜是sqrt2/2的稜長,OMN是直角三角形
這樣求出OM是1倍的稜長,那OA應該是3/2的稜長才對
[
本帖最後由 BambooLotus 於 2025-3-9 11:27 編輯
]
作者:
satsuki931000
時間:
2025-3-9 00:13
標題:
回覆 3# vln0106 的帖子
填充11
\(z\)在直角坐標平面的軌跡為圓形
\(\displaystyle x^2+y^2-(\frac{2k^2}{k^2-1})x+(\frac{2}{k^2-1})y+1=0\)
圓心在\(\displaystyle (\frac{k^2}{k^2-1},\frac{-1}{k^2-1})\),\(r=\displaystyle \frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\)
\(\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}w\)在坐標平面軌跡 \(x+y+6=0\)
所求為圓上一點到直線的最短距離
得到\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\)
其中\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}k}{k^2-1}\) 在\(k=2\) 時有最大值為\(\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
因此所求的最小值為\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{17\sqrt{2}}{6}\)
[
本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 00:15 編輯
]
作者:
satsuki931000
時間:
2025-3-9 00:37
確認一下計算二的答案
1.2
2.\(2x\)
3.2
作者:
thepiano
時間:
2025-3-9 07:10
標題:
回覆 3# vln0106 的帖子
計算第 3 題
PC/sin(30∘+ θ) = 3/sin60∘
PC = 3sinθ + √3cosθ
RC/sin(120∘- θ) = 4/sin60∘
RC = (4/3)√3sinθ + 4cosθ
PR = [3 + (4/3)√3]sinθ + (4 + √3)cosθ
疊合後,可得 PR 最大值 = √[(100 + 48√3)/3]
△PQR 面積最大值 = 12 + (25/3)√3
圖片附件:
20250309.jpg
(2025-3-9 07:10, 64.58 KB) / 該附件被下載次數 31
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7320&k=e2e005c40b02435f22f257d3926318d9&t=1742000187
作者:
thepiano
時間:
2025-3-9 08:03
標題:
回覆 6# satsuki931000 的帖子
計算二
(2) 1
(3) 94x + 349
作者:
satsuki931000
時間:
2025-3-9 09:38
標題:
回覆 8# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師的指正
但是答案仍是不同
不知道是否哪邊有問題
(2)令\(\displaystyle G(x)=(x^2+x+1)f(x)\)
設\(f(x)=(x^2-x+1)Q_1(x)+(ax+b)\)
同乘\(x^2+x+1\) 得到 \(G(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q_1(x)+(ax+b)(x^2+x+1)\)
因為\(G(x)\) 除以\(x^2+x+1\)的餘式為\(0\)
且\(G(x)\) 除以\((x^2-x+1)\)的餘式為\(2x\)
得到\(G(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q_1(x)+(x^2+x+1)\)
因此\(a=0,b=1\),所求餘式為\(1\)
(3)令\(\displaystyle G(x)=(x^2+x+1)f(x)\)
設\(f(x)=(x^2+x+1)Q_2(x)+(px+q)\)
同乘\(x^2+x+1\) 得到 \(G(x)=(x^2+x+1)^2Q_2(x)+(px+q)(x^2+x+1)\)
因為\(G(x)\) 除以\((x^3-1)^2\)的餘式為\(200x^5+53x^4-198x^2-51x+2\)
所以\(G(x)\) 除以\((x^2+x+1)^2\)的餘式為\(94x^3+443x^2+443x+349\)
即\((px+q)(x^2+x+1)=94x^3+443x^2+443x+349 \Rightarrow px+q=94x+349\)
後記: 已找出問題,感謝鋼琴老師的指正
[
本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 23:06 編輯
]
作者:
vln0106
時間:
2025-3-9 09:57
標題:
回覆 7# thepiano 的帖子
感謝兩位老師
作者:
thepiano
時間:
2025-3-9 11:00
標題:
回覆 9# satsuki931000 的帖子
(2) 倒數第二行應是
G(x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)Q_1(x) + (x^2 + x + 1)
故 a = 0,b = 1,所求餘式為 1
(3) 倒數第二、三行
(x^2 + x + 1)^2 不是 x^6 - 1 的因式,不能那樣做
作者:
satsuki931000
時間:
2025-3-9 11:51
標題:
回覆 11# thepiano 的帖子
感謝鋼琴老師
(2)計算錯誤
(3)頭昏了,想得太快
作者:
cut6997
時間:
2025-3-9 13:02
標題:
回覆 9# satsuki931000 的帖子
想請問如何求得除以(x^3-1)^2的餘式?
我只會愚蠢的
令f(x)=(x^2+x+1)q(x)+r(x)
因(x^2+x+1)f(x)除以(x^2+x+1)必定整除,故求商得
f(x)=2( (sum_k=0^99 (x^3-x^2)x^3k) +1)+(sum_k=0^32 (x^2-x)x^3k)+(sum_k=0^19 (x^2-x)x^3k)
同乘(x-1)得(x-1)f(x)=(x^3-1)q(x)+(x-1)r(x)
以x^3=1帶入(x-1)f(x)降階得(x-1)(2( 100-100x^2+1)+33(x^2-x)+20(x^2-x))=(x-1)r(x)
=>r(x)=-147x^2-53x+202
再r(x)除以(x^2+x+1)得94x+349
作者:
satsuki931000
時間:
2025-3-9 14:33
標題:
回覆 13# cut6997 的帖子
以下方法為突發奇想
是不是都能這樣做不知道XD
令\(y=x^3\)
定義\(H(y)=2x^2y^{100}+xy^{33}+xy^{20}+2\)
找\(H(y)\)除以\((y-1)^2\)的餘式
利用泰勒展開式:\((200x^2+53x)(y-1)+2(x^2+x+1)\)
還原回去展開就可以得到\(200x^5+53x^4-198x^2-51x+2\)
[
本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 14:35 編輯
]
作者:
cut6997
時間:
2025-3-9 15:17
標題:
回覆 14# satsuki931000 的帖子
感謝分享,看起來挺神奇的
我個人感覺要做微分的話,似乎x不能當作常數看待
可是算出來的答案卻是對的,可能得請其他老師解說緣由
作者:
peter0210
時間:
2025-3-9 21:30
填充6
圖片附件:
填充6.png
(2025-3-9 21:30, 49.77 KB) / 該附件被下載次數 22
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7321&k=351d962fd168da590738ca8aad69d16f&t=1742000187
作者:
Superconan
時間:
2025-3-10 01:47
計算第 1 題
請問答案是 4 嗎?
作者:
Jimmy92888
時間:
2025-3-10 06:19
標題:
回覆 16# Superconan 的帖子
化簡\(|\log(\displaystyle\frac{|\sin(2\theta)|}{2})-2\log(|\cos\theta|)|=5-\tan\theta\)
得\(|\log(|\tan\theta|)|=5-\tan\theta\)
令\(x=\tan\theta\)
原式:\(|\log|x||=5-x\)
又\(y=5-x\)與\(y=|\log|x||\)有三個交點\(A(a,5-a)\)、\(B(b,5-b)\)、\(C(c,5-c)\)
\(\tan\theta=a\)、\(\tan\theta=b\)、\(\tan\theta=c\)在\(0\)到\(2\pi\)各有2個解
因此共有6個解。
若有錯誤,再請指正。
[
本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-3-10 07:41 編輯
]
作者:
bugmens
時間:
2025-3-10 08:41
10.
\(x\)、\(y\)為任意實數,定義:\(f(x,y)=\sqrt{(2x-2)^2+(2y-4)^2+(2x-y+9)^2}+\sqrt{(2x+2)^2+(2y+6)^2+(2x-y+11)^2}\)求\(f(x,y)\)的最小值
。
我的教甄準備之路 兩根號的極值問題,
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174
作者:
BambooLotus
時間:
2025-3-10 08:48
標題:
回覆 14# cut6997 的帖子
微分的想法很棒,幫你補上過程
\( 2x^{302}+x^{100}+x^{61}+2=(x^2+x+1)f(x)=(x^2+x+1)[(x^2+x+1)Q(x)+(Ax+B)] \)
\( = (x^2+x+1)^2Q(x)+(x^2+x+1)(Ax+B) \)
微分
\( 604x^{301}+100x^{99}+61x^{60}=2(x^2+x+1)(2x+1)Q(x)+(x^2+x+1)^2Q'(x)+(2x+1)(Ax+B)+(x^2+x+1)A \)
由廣義餘式定理,代入\( x^3=1 \):
\( 604x + 161 = (-A+2B)x+(B-2A) \) (右邊是長除法的結果)
比較係數即可得\( A=94,B=349 \)
[
本帖最後由 BambooLotus 於 2025-3-10 08:54 編輯
]
作者:
peter0210
時間:
2025-3-10 11:10
填充9,想詢問各位老師,答案是否有誤
圖片附件:
未命名.png
(2025-3-10 11:10, 97.38 KB) / 該附件被下載次數 22
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7322&k=714ea4790f4f7277eab3e8bb55f5700d&t=1742000187
作者:
thepiano
時間:
2025-3-11 09:29
標題:
回覆 20# peter0210 的帖子
第 9 題
官方答案給錯了,有老師去提疑義嗎?
正四面體 ABCD
A(a,a,a)、B(b,b,b),C 和 D 在 xy 平面上
體積 72,易知邊 AB = 6√2 = √3(a - b)
a - b = 2√6
設 AB 中點 M((a + b)/2,(a + b)/2,(a + b)/2),CD 中點 N
直線 OM:x = y = z ,直線 ON:x = y,z = 0
tan∠MON = 1/√2
歪斜線長 MN = (√2/2) * 6√2 = OM * tan∠MON = (√6/4)(a + b)
a + b = 4√6
a = 3√6,b = √6
作者:
Superconan
時間:
2025-3-11 10:43
標題:
回覆 21# thepiano 的帖子
學校有放更正版的答案以及解析, kobelian 老師有放在第一頁了
學校官方版題目沒有標題,我另外製作了一個,如果有考生需要,可以自行取用~
附件:
臺南一中114_試題.pdf
(2025-3-11 10:43, 550.25 KB) / 該附件被下載次數 96
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7328&k=b1a4d1b4216fedb04f0f1eac36ccbac9&t=1742000187
作者:
Maomao
時間:
2025-3-11 15:32
IMG_0130.jpeg
(149.3 KB)
2025-3-11 15:33
圖片附件:
IMG_0130.jpeg
(2025-3-11 15:33, 149.3 KB) / 該附件被下載次數 35
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7329&k=c65417a54e95fc1d460550d2716feb8b&t=1742000187
歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://mathpro.net/db/)
論壇程式使用 Discuz! 6.1.0