標題: 114竹北高中 [打印本頁]

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作者: kobelian    時間: 2025-3-7 21:02     標題: 114竹北高中

114竹北高中

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作者: 余師傅    時間: 2025-3-8 00:25

想問填充10,16和計算1

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作者: BambooLotus    時間: 2025-3-8 07:56

16.
令\(\displaystyle \tan\theta=k,\tan\frac{\theta}{2}=t\)，\( \displaystyle O_1(\frac{y_1}{t},y_1),O_2(\frac{y_2}{t},y_2)\)
把P代到圓，\( \displaystyle (2-\frac{y}{t})^2+(2-y)^2=y^2 \)，整理得\( \displaystyle \frac{y^2}{t^2}+(...)y+8 = 0\)
兩根之積：\(y_1y_2=r_1r_2=2\)就可以知道\( \displaystyle t=\frac{1}{2}\)，再二倍角回去就好

計算1，令\( B(x,y) \)，\(\displaystyle \frac{y}{x+\frac{9}{2}}\times \frac{y}{x+2}=-1\)，\( \displaystyle x^2+\frac{13}{2}x+9+y^2 = 0\)，橢圓整理成\(\displaystyle \frac{5}{9}x^2+y^2=5\)
相減求出\(\displaystyle x=-12或-\frac{21}{8}\)，-12不合，代回橢圓求出\(\displaystyle y = \pm\frac{5\sqrt{3}}{8}\)(正不合)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2025-3-8 08:10 編輯 ]

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作者: kobelian    時間: 2025-3-8 08:16

想請問 填充 1 , 2 , 7 , 12 ,14

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作者: Bufi    時間: 2025-3-8 08:52     標題: 回覆 4# kobelian 的帖子

填充12
可以將上面那條式子看成兩個圖形同時正跟同時負的狀況去看區域
所以整個題目的圖形就可以畫出來
接下來就是利用線性規劃去看題目求的那條線在什麼時候切到這些區域會有最小值

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作者: Bufi    時間: 2025-3-8 08:57     標題: 回覆 4# kobelian 的帖子

填充2
將a代換成x代進去題目給的式子
稍微整理一下就有兩種情況可以討論 並且有一個情況會為定值
之後在這個情況的結果去反推a的範圍

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作者: Bufi    時間: 2025-3-8 09:01     標題: 回覆 4# kobelian 的帖子

填充7
這題我考試的時候沒想到其中一個也要討論的情況
除了要討論三次函數圖形與x軸的交點範圍外
你還要去討論說這個三次函數的極大極小值發生的時候是否會在第二象限的那條線上以及是否會在第四象限的那條線下

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作者: cut6997    時間: 2025-3-8 09:08

1易知f(x)是一次函數，設f(x)=ax+b,則f(t)=at+b,爆開比較係數
12.2x-y=k從上往下壓切圓，答案應該是1-sqrt(5)，但符合第一行式子的限制的話，於雙曲線與圓交點(0.4,1.8) (一大早起來看沒看到x在分母)

[ 本帖最後由 cut6997 於 2025-3-8 10:47 編輯 ]

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作者: 余師傅    時間: 2025-3-8 09:43     標題: 回覆 3# BambooLotus 的帖子

謝謝老師，我全部都停在第一行然後不敢爆開，看來是不夠勇敢

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作者: Superconan    時間: 2025-3-8 09:49     標題: 回覆 8# cut6997 的帖子

請教填充1，f(x) 並沒有定義它是多項式函數，要怎麼確定這件事？

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作者: 余師傅    時間: 2025-3-8 09:55

填充12
y=18/(25x) 是一個雙曲線，第一個不等式得知要同時在 y=x 或 y=18/(25x) 的上方或下方（可用ggb或desmos畫畫看）
第二個不等式得知在園內或邊界上
透過線性規劃可知答案要取通過圓和雙曲線的點（看不出來的話就把直線和圓的交點也算出來比大小）
令x=1+cost,y=1+sint 代入xy=18/25 得到 sint*cost+sint+cost=-7/25（其實到這一步可以猜答案了，猜不到就繼續算）
令sint+cost=k,此時sint*cost=(k^2-1)/2 解 k再回來解 sint, cost 即可

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作者: Ellipse    時間: 2025-3-8 10:36

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-3-8 09:49 發表
請教填充1，f(x) 並沒有定義它是多項式函數，要怎麼確定這件事？

等式左右對x微分, 就可以知道了

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作者: satsuki931000    時間: 2025-3-8 11:06

7. 不太聰明的方法，可能也有一點敘述不清，還請指教
考慮 \(x<0\) 的情況，兩圖形要有3交點
首先畫圖易知\(f(0)=6a^2-8<0\)，即\(\displaystyle a^2<\frac{4}{3}\)
又因為\(f(x)\)必定通過原點，所以只要滿足上述條件並且保證讓f(x)與\(y=x+2\)有非相切的交點即可
考慮\(f(x)=x^3-3a^2x\) 與 \(g(x)=x+2\)需要有兩個交點

\(x^3-(3a^2+1)x\) 的極大值為\(\displaystyle \frac{2(3a^2+1)\sqrt{3a^2+1}}{3\sqrt{3}}<2\)
解得\(\displaystyle a^2>\frac{2}{3}\)
故\(\displaystyle\frac{2}{3}<a^2<\frac{4}{3}\) ，所以\(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}<a<\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 11:13 編輯 ]

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作者: Bufi    時間: 2025-3-8 11:21

想詢問填充6,11,14 謝謝

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作者: thepiano    時間: 2025-3-8 11:44     標題: 回覆 2# 余師傅 的帖子

計算第 1 題
x^2/9 + y^2/5 = 1
a = 3，b = √5，c = 2
F_1(-2，0)、Q(-9/2，0)，B(x，y)
y^2 = 5 - (5/9)x^2

x = -9/2 是橢圓的準線
作 BP 垂直 x = -9/2 於 P
則 BF_1/BP = c/a = 2/3
BP = x + 9/2，BF_1 = (2/3)x + 3，PQ = -y

QB⊥AB
QF_1^2 - BF_1^2 = BQ^2 = BP^2 + PQ^2
(5/2)^2 - [(2/3)x + 3]^2 = (x + 9/2)^2 + [5 - (5/9)x^2]
x = -21/8 or -12(不合)

B(-21/8，-(5/8)√3)

直線 L 之斜率為 √3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 11:52 編輯 ]

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作者: satsuki931000    時間: 2025-3-8 13:32     標題: 回覆 14# Bufi 的帖子

11.設\(g(x)=f(x+2)-2\)，\(h(x)=f(2x+1)\)
因為\(g(x)\)為奇函數，可以得到\(f(x+2)+f(-x+2)=4\)
因為\(h(x)\)為偶函數，可以得到\(f(2x+1)=f(-2x+1)\)

由奇函數的條件，有
\(f(2)=f(0)\)
\(f(3)=f(-1)\)
\(f(4)=f(-2)\)...
由偶函數的條件
\(f(3)+f(1)=4\)
\(f(4)+f(0)=4 \Rightarrow f(4)+f(2)=4\)
\(f(5)+f(-1)=4 \Rightarrow f(5)+f(3)=4\)

因此\(f(1),f(2)\cdots f(2025)\)每四個一組為一循環
\(f(1)=0,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=2 \cdots f(2025)=0\)
為\(8\times 506=4048\)

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 13:44 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2025-3-8 13:42     標題: 回覆 14# Bufi 的帖子

第 14 題
已知函數\(f(x)=x^2-x+\sqrt{2x^4-6x^2+8x+16}\)在\(x=a\)時有最小值\(m\)，則數對\((a,m)=\)　　　。
[解答]
f(x) = x^2 - x + √(2x^4 - 6x^2 + 8x + 16)
= √2{|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]}

|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
即 y = x^2 上一點 A(x，x^2) 到直線 y = x 之距離與到 B(-2，2) 之距離和
點 A 為 y = -x 與 y = x^2 之交點
最小值為 OB = 2√2

m = 4

-x = x^2，x = 0 or -1

所求為 (0，4) or (-1，4)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 13:54 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2025-3-8 15:00     標題: 回覆 14# Bufi 的帖子

第 6 題
如圖，上底 6，下底 1，腰長 x 之等腰梯形
紅高 = (√3/2) * 6 - x - (√3/2) * 1 = (5/2)√3 - x

((5/2)√3 - x)^2 + (5/2)^2 = x^2
x = 5/√3

三角錐之高 = √[(5/√3)^2 - (√3/3)^2] = 2√2

三角錐之體積 = (1/3) * (√3/4) * 2^2 * 2√2 = (2/3)√6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 17:16 編輯 ]

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作者: peter0210    時間: 2025-3-8 17:08

填充6
請教piano老師，這裡的式子為何多需要除以2

圖片附件: 未命名.png (2025-3-8 17:08, 13.49 KB) / 該附件被下載次數 15
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作者: thepiano    時間: 2025-3-8 17:17     標題: 回覆 19# peter0210 的帖子

抱歉，複製貼上時錯誤，已更正。

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作者: thepiano    時間: 2025-3-8 17:18     標題: 回覆 2# 余師傅 的帖子

第 10 題
定座標 D(0，0，0)、A(1，0，0)、B(1，1，0)、C(0，2，0)、P(0，0，√2)、E(0，2，√2)、F(1/2，0，√2/2)

Q 是線段 EF 上一點，可令 Q(t/2，2 - 2t，√2 - (√2/2)t)，其中 0 ≦ t ≦ 1
平面 BCP：x + y + √2z = 2

利用 Q 到平面 BCP 的距離 = (1/2)BQ，可求出 t = 0
Q(0，2，√2)，FQ = √19/2

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作者: 過課    時間: 2025-3-9 16:00

想問填空五怎麼做的，不理解公式的由來。

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作者: thepiano    時間: 2025-3-9 16:47     標題: 回覆 22# 過課 的帖子

第 5 題
參考 weiye 老師的說明
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2659

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作者: 過課    時間: 2025-3-9 17:09     標題: 回覆 23# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師。
還是有點不理解，想請問順序和期望值之間的關係是怎麼得知的。

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作者: cut6997    時間: 2025-3-9 17:12     標題: 回覆 22# 過課 的帖子

直接硬算的話
所求是sum_k=1^91 (k*C(99-k,8))
重排可得
C(8,8)+...+C(98,8)=C(99,9)
C(8,8)+...+C(97,8)=C(98,9)
...
C(8,8)=C(10,10)
加總得C(100,10)
C(100,10)/C(99,9)=10

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作者: 余師傅    時間: 2025-3-9 20:03

想問老師們填充15
雖然猜得到x=1/2，但要如何說明他就會是最小值？

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作者: lisa2lisa02    時間: 2025-3-10 11:43

想問老師們填充第3題，謝謝！
（已解決）

[ 本帖最後由 lisa2lisa02 於 2025-3-10 12:02 編輯 ]

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作者: ruee29    時間: 2025-3-10 16:43

整理了填充題解答
也有參考老師們的寫法
供參考~
填充16 看了參考文章才寫出來
https://m.fx361.com/news/2022/1123/12358395.html
筆誤修正
填充4 Z2少乘以r 改成Z2=re^(-theta)
          第二行 分母少寫平方 改成 Z1/(Z2) ^2
補充計算1，參數式的寫法

[ 本帖最後由 ruee29 於 2025-3-11 17:23 編輯 ]

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附件: 114竹北3~4.pdf (2025-3-10 16:43, 1.09 MB) / 該附件被下載次數 138
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附件: 114竹北5~6.pdf (2025-3-10 16:43, 1.05 MB) / 該附件被下載次數 155
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https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7330&k=6477e1e55f407cb458c5d61acceb5dc2&t=1742009395

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作者: satsuki931000    時間: 2025-3-10 23:19     標題: 回覆 26# 余師傅 的帖子

觀察到\(x+1-x=1\)
推測應該是用琴生不等式
因為\(\displaystyle f(x)=\frac{sin(\pi x)}{x^2}\)在\(0<x<1\)為凹口向上
根據琴生不等式
可得\(\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}\geq f(\frac{a+b}{2})\)
所求\(\displaystyle \geq f(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}\)
等號成立在\(a=b\)的時候

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-10 23:28 編輯 ]

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作者: satsuki931000    時間: 2025-3-10 23:22

計算第2題
直線方程式 \(x+2y=1\)
\(\displaystyle (x_n,y_n)=(3+(-2)^n,-1+(-2)^{n-1})\)

計算第3題
令\(\displaystyle A=\frac{x}{2},B=\frac{y}{2}\)
有\(\displaystyle log A \times log B=\frac{17}{36}\)
且\(log A+log B=3\)，設\(log A\) 為較大的根
計算出\( 2.8< log A <2.9 \Rightarrow 3.1<log x <3.2\)
因此\(x\)為4位數

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-10 23:31 編輯 ]

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作者: Ellipse    時間: 2025-3-11 08:52

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2025-3-10 23:19 發表
觀察到\(x+1-x=1\)
推測應該是用琴生不等式
因為\(\displaystyle f(x)=\frac{sin(\pi x)}{x^2}\)在\(0

光證明這圖形凹向上,就不是一件容易的事

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