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標題: 請問這題謝謝(2020 AMC8) [打印本頁]

作者: dearancola 時間: 2025-1-5 13:21 標題: 請問這題謝謝(2020 AMC8)

請問這題解法,謝謝

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作者: thepiano 時間: 2025-1-6 11:31 標題: 回覆 1# dearancola 的帖子

(1)
中間一條 3 * 3 * 9 = 81
有前後、左右、上下，扣掉重複的
計移除 (3 * 3 * 9) * 3 - 3^3 * 2 = 189

(2)
角落一條 9 個，每個面向有 4 條
有前後、左右、上下，扣掉重複的
計移除 9 * 4 * 3 - 3 * 4 * 2 = 84

(3)
上中一條 6 個，每個面向有 4 條
有前後、左右、上下，扣掉重複的
計移除 6 * 4 * 3 - 2 * 4 * 2 = 56

所求 = 189 + 84 + 56 = 329

作者: dearancola 時間: 2025-1-7 07:36 標題: 回覆 2# thepiano 的帖子

我算一下,謝謝

作者: thepiano 時間: 2025-1-8 13:31 標題: 回覆 3# dearancola 的帖子

一個較簡單的另解
把整個 9 * 9 * 9，先切成 27 個 3 * 3 * 3
先從前後、左右、上下三個方向，挖掉中間的 7 個 3 * 3 * 3，是 189 個 1 * 1 * 1

剩下的 20 個 3 * 3 * 3，由上而下，分別是上層 8 個、中層 4 個、下層 8 個
這 20 個 3 * 3 * 3，每一個再挖掉中間的 7 個 1 * 1 * 1，是 140 個

所求 = 189 + 140 = 329

作者: weiye 時間: 2025-1-8 14:35 標題: 回覆 4# thepiano 的帖子

以下同樣的想法，但改用每次挖掉之後還剩下的部份來解。

9^3 個小正方形，先切成 3^3= 27 個區域。

每次都移除掉每面的正中間區域及立體最中間區域，

即移掉 7/27 倍的原體積，僅保留 (1-7/27) = 20/27 倍的原體積，

於是在進行兩輪操作後，

留下的部份為 (20/27) * (20/27) 倍的原體積，

故移除的個數為 9^3 - 9^3 * (20/27) * (20/27) = 329 個。

順便借個網路上的圖，如下（看到圖0, 1, 2 即可）。

https://mathsmodels.co.uk/2021/04/01/MengerSponge/

圖片附件: menger_0123_diagram.jpeg (2025-1-8 14:35, 33.92 KB) / 該附件被下載次數 156
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