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標題: 113新竹女中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2024-4-12 01:02 標題: 113新竹女中

腦汁炸乾了
計算題那 38 分
九連環和 3D 立體賓果的問題，非常不確定有沒有記對。
如果有記得的老師，再請分享～

備註：九連環那題，本來就有說參考來源來自數學傳播第 38 卷第 3 期，因此我從裡面擷取一些文字，盡量還原為印象中的考題。
參考資料：https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=38302

113.4.12版主補充
上傳官方版試題

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作者: bugmens 時間: 2024-4-12 09:07

8.
設數列\(a_k=k^3\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n}^{3n-1}\frac{n^2}{a_k}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)

作者: vln0106 時間: 2024-4-12 10:58

想請教填充 6 7 10
謝謝老師

作者: ahliang6897 時間: 2024-4-12 11:12

7.
考慮集合\(\{\;1,2,3,\ldots,2024\}\;\)的子集\(S\)，其中集合\(S\)的元素個數為1000。若從滿足上述條件中的每個集合\(S\)裡挑選出最小的元素，則所有這些最小元素的算術平均數為　　　。
[解答]
巴斯卡定理 C2025取1001/C2024取1000=2025/1001

作者: Superconan 時間: 2024-4-12 11:56

請問填充3、9

作者: ahliang6897 時間: 2024-4-12 12:50 標題: 回覆 5# Superconan 的帖子

3.定坐標

作者: thepiano 時間: 2024-4-12 14:08 標題: 回覆 3# vln0106 的帖子

第 6 題
若\(S\)是滿足\(0<x\le 1\)、\(0<y\le 1\)且\(\displaystyle \left[log_2 \left(\frac{1}{x}\right)\right]\)與\(\displaystyle \left[log_3 \left(\frac{1}{y}\right)\right]\)均為奇數的坐標\((x,y)\)所組成的集合，則集合\(S\)所表示的圖形面積為　　　。(\(\left[x\right]\)表不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
2≦1/x＜4，1/4＜x≦1/2
8≦1/x＜16，1/16＜x≦1/8
:
:

3≦1/y＜9，1/9＜x≦1/3
27≦1/y＜81，1/81＜x≦1/27
:
:

所求 = [(1/2 - 1/4) + (1/8 - 1/16) + ...][(1/3 - 1/9) + (1/27 - 1/81) + ...] = (1/3)(1/4) = 1/12

作者: thepiano 時間: 2024-4-12 14:45 標題: 回覆 5# Superconan 的帖子

第 9 題
設\(A(1,\sqrt{3}),B(1,-\sqrt{3})\)為平面上兩定點，動點\(P\)在線段ˋ\(\overline{AB}\)上。\(O\)為原點，且\(Q\)在射線\(\overline{OP}\)上，並滿足\(\overline{OP}\cdot \overline{OQ}=4\)。當動點\(P\)由\(A\)沿著線段\(\overline{AB}\)移動到\(B\)時，試求\(Q\)點軌跡圖形的路徑長為何？　　　
[解答]
O(0，0)、P(1，t)，-√3 ≦ t ≦ √3，Q(x，y)，x ≧ 1
OP^2 * OQ^2 = (t^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16

OP 和 OQ 斜率相同，可得 t = y/x

(y^2/x^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 16x^2 = 0
(x^2 + 4x + y^2)(x^2 - 4x + y^2) = 0
[(x + 2)^2 + y^2 - 4][(x - 2)^2 + y^2 - 4] = 0
(x + 2)^2 + y^2 = 4 (不合，因 x ≧ 1) or (x - 2)^2 + y^2 = 4

所求為以 O'(2，0) 為圓心，半徑為 2 的圓周長扣掉弧AB(120度) 的長 = 4π * (2/3) = (8/3)π

作者: JJM 時間: 2024-4-12 16:57 標題: 回覆 4# ahliang6897 的帖子

請教老師，這邊分子是怎麼得到的？

作者: mathchen 時間: 2024-4-12 17:08 標題: 回覆 JJM 老師

7.
考慮集合\(\{\;1,2,3,\ldots,2024\}\;\)的子集\(S\)，其中集合\(S\)的元素個數為1000。若從滿足上述條件中的每個集合\(S\)裡挑選出最小的元素，則所有這些最小元素的算術平均數為　　　。
[解答]
第七題分子的部分我是這樣算的，若有錯誤再請老師指教。

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作者: mathchen 時間: 2024-4-12 17:23

想詢問8的做法，謝謝老師

作者: thepiano 時間: 2024-4-12 18:27 標題: 回覆 11# mathchen 的帖子

第 8 題
設數列\(a_k=k^3\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n}^{3n-1}\frac{n^2}{a_k}=\)　　　。
[解答]
分子和分母同除以 n^3
(1/n){1 + 1/(1 + 1/n)^3 + 1/(1 + 2/n)^3 + …… + 1/[1 + (2n - 1)/n]^3}
所求 = 1/(1 + x)^3，從 0 積到 2

作者: Ellipse 時間: 2024-4-12 23:14

引用:

原帖由 vln0106 於 2024-4-12 10:58 發表
想請教填充 6 7 10
謝謝老師

10.
冰果飲料店推出集字活動，凡購買任何一杯飲品，皆能獲得一張集字卡，只要收集「中」、「獎」、「囉」三字，即可免費兌換一杯綠茶。已知集字卡上出現「中」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)、出現「獎」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\) 、出現「囉」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{6}\)。請問成功收集到「中」、「獎」、「囉」三字，所需要購買飲品杯數的期望值為　　　杯。
[解答]

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作者: vln0106 時間: 2024-4-13 10:45 標題: 回覆 13# Ellipse 的帖子

請問老師這個公式由來

作者: Ellipse 時間: 2024-4-13 11:38

引用:

原帖由 vln0106 於 2024-4-13 10:45 發表
請問老師這個公式由來

Google 搜尋: Coupon collector problem (彩卷收集問題)

作者: vln0106 時間: 2024-4-13 12:18 標題: 回覆 15# Ellipse 的帖子

感謝老師

作者: thepiano 時間: 2024-4-13 15:38 標題: 回覆 3# vln0106 的帖子

第 10 題
冰果飲料店推出集字活動，凡購買任何一杯飲品，皆能獲得一張集字卡，只要收集「中」、「獎」、「囉」三字，即可免費兌換一杯綠茶。已知集字卡上出現「中」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)、出現「獎」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\) 、出現「囉」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{6}\)。請問成功收集到「中」、「獎」、「囉」三字，所需要購買飲品杯數的期望值為　　　杯。
[解答]
以 A、B、C 代之
P(A) = 1/2、P(B) = 1/3、P(C) = 1/6

P(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之機率，重複出現的略去
E(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之期望次數

P(A→B→C) = (1/2) * [(1/3)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/3
P(A→C→B) = (1/2) * [(1/6)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/6
P(B→A→C) = (1/3) * [(1/2)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/4
P(B→C→A) = (1/3) * [(1/6)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/12
P(C→A→B) = (1/6) * [(1/2)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/10
P(C→B→A) = (1/6) * [(1/3)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/15

E(A→B→C) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/3)] = 9
E(A→C→B) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/6)] = 6
E(B→A→C) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/2)] = 17/2
E(B→C→A) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/6)] = 9/2
E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5
E(C→B→A) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/3)] = 21/5

所求 = (1/3) * 9 + (1/6) * 6 + (1/4) * (17/2) + (1/12) * (9/2) + (1/10) * (26/5) + (1/15) * (21/5) = 73/10

作者: JJM 時間: 2024-4-13 17:23 標題: 回覆 10# mathchen 的帖子

謝謝老師！

作者: vln0106 時間: 2024-4-13 20:42 標題: 回覆 17# thepiano 的帖子

感謝老師們的回覆

作者: Hawlee 時間: 2024-4-14 11:47 標題: 回覆 17# thepiano 的帖子

可以請問為甚麼機率跟期望值式這樣列式嗎?

作者: thepiano 時間: 2024-4-14 16:54 標題: 回覆 20# Hawlee 的帖子

P(A→B→C) = (1/2) * [(1/3)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/3
先抽到 A 的機率是 1/2，之後若再抽到 A 則略去，從 B 和 C 中，抽到 B 的機率是 [(1/3)/(1 - 1/2)] = 2/3，之後若再抽到 B 則略去，最後只剩 C，抽到的機率是 1

E(A→B→C) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/3)] = 9
先抽 1 張，假設是 A，由於抽到 B 或 C 的機率是 1/2，所以接下來抽到 B 或 C 的期望次數是 2 次，假設先抽到 B，最後抽到 C 的機率是 1/6，期望次數是 6 次

所求就是上面六種情形的加權平均數

作者: aizin 時間: 2024-4-14 22:11 標題: 113新竹女中填充題5

各位老師們好，想請問113新竹女中填充題5，謝謝各位老師。

作者: farmer 時間: 2024-4-15 00:03 標題: 立體賓果

這題的第一小題應該是最難的，答案是不可能和局，
但我的討論方法過程太繁瑣，難以表達（一堆圖），
只能說考試之中不太可能答出這一題----除非有其他奇巧的（鴿籠原理）方法可快速得出矛盾。

作者: thepiano 時間: 2024-4-15 07:23 標題: 回覆 22# aizin 的帖子

第 5 題
小沂在平面上以下面丟骰子的方式前進：丟一公正六面骰子，出現\(n\)點就往前走\(n\)公尺，接著順時針轉60度。接著再繼續丟骰子，如上述方式前進以及轉向。則小沂丟五次骰子並走完後回到原來出發位置的機率為　　　（分母可以不用乘開）。
[解答]
先畫一個正三角形，在右下角截去一個邊長 a 的小正三角形，在左下角截去一個邊長 b 的小正三角形，會得到一個五邊形，這是走 5 次、順時針轉 60 度 4 次能回到出發點的走法

令第三次走的長度是 x，則 5 次走的長度分別是 x + b、a、x、b、x + a
x = 5，a = 1，b = 1
x = 4，a = 1 ~ 2，b = 1 ~ 2
:
:
x = 1，a = 1 ~ 5，b = 1 ~ 5

所求 = (1^2 + 2^2 + … + 5^2) / 6^5

作者: tsusy 時間: 2024-4-17 11:30 標題: 回覆 23# farmer 的帖子

計算證明題 2(1) 想了很久，一開始就如 farmer 所說，過程麻煩，難得表達。
昨天晚上睡覺躺在床上，想出一個相對比較滿意的版本。

使用歸謬法，假設存在和局。
考慮和局時，最終27件積木的擺放情形，將其看成一個立方體，並將其立在水平面上。
注意到立方的八個角落(頂點)中，兩兩最遠與中心成一直線。
接面我們以面為單位，考慮其各種可能(或不可能)

1、此立方體的六個側面不會出現四個角落為相同積木的情形。
說明：若有四個角落為相同積木，如下圖所示，A表示同一種積木。此面上其餘5個位置任意放入一個A，均會使得AAA連線，但其餘五格為均放入另一種積木B，亦會使得BBB連線。
故此立方體的六個側面不會出現四個角落為相同積木的情形，此結果亦適用在其它過中心的水平面、鉛直面、與水平面夾 45° 的斜面。
A A

A A

2、此立方體的六個側面不會出現四個角落為兩種相同積木各2個的情形。
說明：若有四個角落為兩種積木各兩個，則可以為以下兩種情形：
(1) 如下所示，此面中心，無論放入積木A或B，均會使得AAA或BBB連線，故此情形不會發生。
A B

B A
(2) 另一種情形如下所示，不失一般性假設立方體的中心為A。
A B

A B
那麼在立方體中，與此二A最遠的角落(頂點)必然為積木B，否則將與中心形成AAA連線，如下圖所示。

如此一來就出現一個側面四個角落均為相同的積木B，再由先前的推論知道，這個情況也是不可能的。

綜合以上1、2，我們知道，四個角落只能有剩下來的情形AAAB或ABBB。
依3A或3B的情形考慮其它位置，易得僅有以下兩類情形(及其對稱、旋轉)
A A B B A B
B B A B A A
A B A A B B
而此兩類似的側面是無法相接的，說明：
角落為AAAB，四個邊只有 AAB、ABA
角落為ABBB，四個邊只有 BBA、BAB
故此類情形無法有共用邊。

不失一般性假設，其中一面為
A A B
B B A
A B A
與其共用角落B的另兩個面就唯一決定了，如下圖

從最底下的水平面來看，未標出的角落角必然是B。
但立方體正中心無論是A或B，均會與此8個角落發生AAA連線或BBB連線。故得矛盾。因此不存在和局之情形。
(論證過程中沒有用到數量14、13，也就是說只要兩種合起來27個擺進去，必然有相同的三個共線。

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作者: ruee29 時間: 2024-4-17 18:02

整理填充題解答供參

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作者: eggsu1026 時間: 2024-12-21 20:54

引用:

原帖由 Superconan 於 2024-4-12 11:56 發表
請問填充3、9

填充3
設\(\Delta ABC\)中，\(\angle BAC=60^{\circ},\overline{AB}=4\sqrt{3},\overline{AC}=2\sqrt{3}\)，\(D\)在\(\overline{BC}\)上，且\(\overline{AD}\)是\(\angle BAC\)的角平分線，若\(P\)是線段\(\overline{AD}\)上的動點，則\((\vec{PB}+2\vec{PC})\cdot \vec{PA}\)的最小值為何？　　　
[解答]
不定坐標的方法

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作者: eggsu1026 時間: 2024-12-31 23:57 標題: 回覆 8# thepiano 的帖子

第9題
設\(A(1,\sqrt{3}),B(1,-\sqrt{3})\)為平面上兩定點，動點\(P\)在線段\(\overline{AB}\)上。\(O\)為原點，且\(Q\)在射線\(\vec{OP}\)上，並滿足\(\overline{OP}\cdot \overline{OQ}=4\)。當動點\(P\)由\(A\)沿著線段\(\overline{AB}\)移動到\(B\)時，試求\(Q\)點軌跡圖形的路徑長為何？　　　
[解答]
參考解法

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作者: eggsu1026 時間: 2025-1-1 01:24

第 10 題
冰果飲料店推出集字活動，凡購買任何一杯飲品，皆能獲得一張集字卡，只要收集「中」、「獎」、「囉」三字，即可免費兌換一杯綠茶。已知集字卡上出現「中」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{2}\)、出現「獎」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\) 、出現「囉」的機率為\(\displaystyle \frac{1}{6}\)。請問成功收集到「中」、「獎」、「囉」三字，所需要購買飲品杯數的期望值為　　　杯。
[解答]
用差比級數，蠻辛苦地做出來

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https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=7290&k=aa93cebd544ea6f93af039ad9f4738e3&t=1742009397

作者: eggsu1026 時間: 2025-1-1 11:54 標題: 回覆 21# thepiano 的帖子

請問 the piano 老師
E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5

可以請你改用上面這個例子解釋 1/(1-1/6) 的意思嗎？
我自己是這麼想，第一次如果不是 C，就不會算在這個情況
所以第一次一定得是 C，才能列在此情況，所以期望次數是 1

接下來，不能出現 B，不然也不會算在這個情況
所以接下來要考慮的是可以出現 C 或 A
但是怎麼算這個期望次數會是 1/(1-1/6) ？

最後一步比較簡單，在A出現之後，就是單純出現 B 的期望次數
因為出現 B 的機率是 1/3，期望次數就是 3

作者: thepiano 時間: 2025-1-2 12:07 標題: 回覆 30# eggsu1026 的帖子

E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5

先抽 1 張，假設是 C，接下來抽到 A 或 B 的機率是 1 - 1/6，所以接下來抽到 A 或 B 的期望次數是 1/(1 - 1/6) 次，假設先抽到 A，最後抽到 B 的機率是 1 - 1/6 - 1/2，期望次數是 1/(1- 1/6 - 1/2) 次

若接下來(第二次)出現 B，而不是 A，就跑到 E(C→B→A)

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