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標題: 110竹東高中 [打印本頁]

作者: Chen 時間: 2021-7-29 08:25 標題: 110竹東高中

昨天(2021/7/28)考的，共考10題。
下面檔案第一大題簡答題第4題直線方程式數字不確定，第二大題的3、4題題目數字不確定。
其它不完整的題目實在想不起來，請有記得題目的老師可以補充一下考題。
(2021/7/31更新題目)

附件: 110竹東高中.pdf (2021-8-2 06:41, 266.8 KB) / 該附件被下載次數 6054
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作者: g112 時間: 2021-7-29 13:56

簡答3.
A, B, C 為三角形3內角，z= 根號65/5sin [(A+B)/2] (係數不太確定)+ i cos[(A-B)/2] , |z|= 忘了, 求 tan(A+B)之最小

證明3(2) 沒記錯應該是求 X^2021-Y^2021

作者: Superconan 時間: 2021-8-2 04:30

試題已公布

110.8.2版主補充
將題目放到第一篇

作者: bugmens 時間: 2021-8-2 06:42

1.
在數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，當\(1\le n\le 5\)時，\(a_n=n^2\)，且對所有正整數\(n\)，\(a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n\)均成立，則\(a_{110}=\)？
[提示]
循環數列1,4,9,16,25,22,17,10

設實數數列\(\langle\;a_n\rangle\;_{n=1}^{\infty}\)滿足\(a_n=a_{n-1}-a_{n-2}(n=1,2,\ldots)\)，且\(a_{100}=1,a_{200}=2\)，試求\(a_{300}\)。
(2002TRML團體賽)

3.
設\(A=\left[\matrix{1&-1\cr 2&4}\right]\)，且\(X\)，\(Y\)均為二階方陣，滿足\(X+Y=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，\(XY=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)，若\(aX+bY=A\)，其中\(a>b\)，\(a,b\)為定值，試求
(1)數對\((a,b)=\)？
(2)\(X^{2021}-Y^{2021}=\)？

設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\; \)，且\(X\)、\(Y\)均為二階方陣，滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\; \)，\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，\( aX+bY=A \)，其中\( a>b \)，\(a\)、\(b\)為常數，則\( X^n= \)？
(101台南二中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1335&page=1#pid5262)

4.
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\)，則\(f(7)\)的最大值？

設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，(\(a,b,c \in R,a \ne 0,x \in R\))，已知\( -1\le f(1) \le 2 \),\( 2\le f(2)\le 4 \),\(-3 \le f(3)\le4\)，令\(f(4)\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\(2M+m=\)　　　。
(100文華高中代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4635)

5.
設\(P\)為正\(\Delta ABC\)內部一點滿足\(\overline{AP}=2,\overline{BP}=3,\overline{CP}=\sqrt{7}\)，求正\(\Delta ABC\)的邊長？

已知\(P\)為正\(\Delta ABC\)內一點，若\(\overline{PA}=\sqrt{7}\)，\(\overline{PB}=\sqrt{3}\)，\(\overline{PC}=2\)，則\(\overline{AB}=\)？
(建中通訊解題第106期，連結有解答http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

作者: satsuki931000 時間: 2021-8-2 16:21

1.
在數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，當\(1\le n\le 5\)時，\(a_n=n^2\)，且對所有正整數\(n\)，\(a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n\)均成立，則\(a_{110}=\)？
[解答]
令\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n\)，原式同\(\displaystyle b_{n+4}=-b_n\)
且\(b_1=3，b_2=5，b_3=7，b_4=9\)，由遞迴式推出\(b_5=-3，b_6=-5，b_7=-7，b_8=-9\)
所求為\(\displaystyle \sum_{k=1}^{109}b_k + a_1 =22\)

柯西想請問關於幾何的證明法
考試當下只有想到硬幹向量二次函數說明

作者: tsusy 時間: 2021-8-2 16:41 標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

向量和幾何二維寫起來一樣吧..
就是正射影長小於等於原長度

一個用向量語言寫，一個不要用向量寫直接想辦法算長度

作者: Ellipse 時間: 2021-8-2 17:39

計算證明題6.
請分別用代數、向量、幾何及其他方法證明柯西不等式\((Cauchy-Schwarz\) \(inequality)\)：
設\(a,b,c,d \in R\)，\((ac+bd)^2\le (a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)\)
[解答]
柯西不等式的幾何方式呈現說明:
以下是小弟想法,請參考看看

圖片附件: 1627897052421.jpg (2021-8-2 17:39, 578.13 KB) / 該附件被下載次數 3874
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作者: cut6997 時間: 2021-8-3 00:00

請問計算第一題是否有什麼觀念可以看出是角平分線?
個人做法設折起的\(\angle ACD=\alpha \)，計算AC與BC夾角\(\theta\)的cos值為\(\cos\theta \)=\(\displaystyle \frac{(\sec \alpha)^2 + (\csc\alpha)^2-(\tan \alpha)^2-(\cot \alpha)^2}{2\sec \alpha \csc \alpha}\)
化減後得\(\sin\alpha\cos\alpha\)，取最大為0.5，此時\(\alpha=45^。 \)
算一堆最後是角平分線感覺有點嘔

作者: thepiano 時間: 2021-8-3 11:23 標題: 回復 8# cut6997 的帖子

看出來不太可能
令\(\angle BCD=\alpha \)，倒是可以求出摺起來的\(\overline{AB}=\sqrt{{{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}-\overline{AC}\times \overline{BC}\times \sin 2\alpha }\)

作者: cut6997 時間: 2021-8-3 14:52

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-8-3 11:23 發表
看出來不太可能
令\(\angle BCD=\alpha \)，倒是可以求出摺起來的\(\overline{AB}=\sqrt{{{\overline{AC}}^{2}}+{{\overline{BC}}^{2}}-\overline{AC}\times \overline{BC}\times \sin 2\alpha }\) ...

我上面那一大串最後就是算出\(\cos \theta \) =\(\sin\alpha\cos\alpha\)=\(\displaystyle\frac{\sin 2\alpha}{2}\)
不知是否有較快的方式得到這結論，還是這其實是個常用知識?

作者: ibvtys 時間: 2021-8-3 15:24

想請教簡答3

作者: thepiano 時間: 2021-8-3 15:59 標題: 回復 11# ibvtys 的帖子

簡答第3題
已知\(A\)、\(B\)、\(C\)為\(\Delta ABC\)的內角，若\(\displaystyle z=\frac{\sqrt{65}}{5}sin\frac{A+B}{2}+i cos\frac{A-B}{2}\)，且\(\displaystyle |\;z|\;=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)，則\(tan(A+B)\)的最小值為何？
[解答]
\(\begin{align}
& {{\left| z \right|}^{2}}=\frac{13}{5}{{\sin }^{2}}\left( \frac{A+B}{2} \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{A-B}{2} \right)={{\left( \frac{3}{5}\sqrt{5} \right)}^{2}}=\frac{9}{5} \\
& 13\left( \frac{1-\cos \left( A+B \right)}{2} \right)+5\left( \frac{1+\cos \left( A-B \right)}{2} \right)=9 \\
& 5\cos \left( A-B \right)=13\cos \left( A+B \right) \\
& 5\left( \cos A\cos B+\sin A\sin B \right)=13\left( \cos A\cos B-\sin A\sin B \right) \\
& 18\sin A\sin B=8\cos A\cos B \\
& \tan A\tan B=\frac{4}{9} \\
& \\
& \tan A=x,\tan B=\frac{4}{9x} \\
& \tan \left( A+B \right)=\frac{x+\frac{4}{9x}}{1-\frac{4}{9}}\ge \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{9}}=\frac{12}{5} \\
\end{align}\)

作者: ibvtys 時間: 2021-8-3 16:32 標題: 回復 12# thepiano 的帖子

了解~感謝您

作者: Almighty 時間: 2021-8-3 20:59 標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

其他版本的是否符合不確定
(甚至還有微積分版本的)
但看到的時候腦袋有閃過這個
至於有沒有分...就看評審給不給過
(某種程度上也是和代數很像)

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作者: ibvtys 時間: 2021-8-3 23:27

想請教計算二，有比較快的討論方法嗎？

作者: Ellipse 時間: 2021-8-3 23:38 標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

因為是二維的,所以會有比較多證法:
除了常見
1.移項代數證法
2.向量內積證法
3.二次函數+判別式證法
還有
4.幾何面積法(如7#的圖)
5.餘弦定理
6.算幾不等式
7.排序不等式
8.矩陣法
9.正交化方法
10.用Holder不等式的特例
11.大學以上工具(積分,複數,機率........)
12.........

作者: thepiano 時間: 2021-8-4 22:21 標題: 回復 15# ibvtys 的帖子

計算第 2 題
竹東高中的多元選修課程共開設了六門選修課：\(A\)、\(B\)、\(C\) 為第一類選修課，\(D\)、\(E\)、\(F\)為第二類選修課，要求每名同學須從中選修三門課，第一類選修課至少要選兩門。現有甲、乙、丙三位同學選課，則任意一位同學與其他兩位同學均至少有兩門相同選修課的選法
共有幾種？
[解答]
小弟的做法如下，參考一下，應該算慢

每人的選課法有以下 10 種
ABC、ABD、ABE、ABF、ACD、ACE、ACF、BCD、BCE、BCF

甲、乙、丙三人選課且符合題意的情形：
(1) 三同：10種

(2) 兩同一異
(i) 兩同是 ABC：9種
(ii) 一異是 ABC：9種
(iii) 沒有 ABC：9 * 4 = 36種
先假設兩同是 ABD、一異有 ABE、ABF、ACD、BCD 這 4 種選擇，其餘情形的兩同亦是 4 種
再排列，有 (9 + 9 + 36) * 3!/2! = 162 種

(3) 三異
(i) 有一異是 ABC：(9 * 4) / 2 = 18 種
再假設另一異是 ABD、最後一異有ABE、ABF、ACD、BCD 這 4 種選擇，由於會重複，故要除以 2
(ii) 三異中都沒有 ABC：6種
(ABD、ABE、ABF) 、(ACD、ACE、ACF)、(BCD、BCE、BCF)
(ABD、ACD、BCD)、(ABE、ACE、BCE)、(ABF、ACF、BCF)
再排列，有 (18 + 6) * 3! = 144 種

所求 = 10 + 162 + 144 = 316 種

作者: cut6997 時間: 2021-8-5 00:06 標題: 回復 15# ibvtys 的帖子

小弟的土法煉鋼
分上(ABC)下(DEF)兩區，下列上的意思是幾人為上半區全選
3上:1
2上:3*3*3=27
1上:3*(3*3*3+3*2*3)
0上:下3異:3*2*3、下2同:3*3*2*3、下3同:3*3*3*3

作者: peter0210 時間: 2021-8-7 09:39

計算二，有誤再請指正，謝謝

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作者: anyway13 時間: 2021-8-7 18:48 標題: 請教計算一

板上老師好

計算一用定坐標的方式處理算到最後得到開根號(169-10t) 0<t<5

是不是哪作錯了 ? 因為公告解為根號109 過程如附件

110.8.8版主補充
將pdf檔中的圖檔擷取出來，方便網友閱讀

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作者: thepiano 時間: 2021-8-7 22:22 標題: 回復 20# anyway13 的帖子

題目是把 B 點摺起來，不是 A 點
摺起來的點，它的橫坐標和縱坐標不會和 D 點相同

作者: anyway13 時間: 2021-8-8 11:04 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

一語道破關鍵，謝謝鋼琴老師指點。

作者: anyway13 時間: 2021-8-8 20:01 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

鋼琴老師好,可以請問一下

角BCD=阿發

AB長度^2=(AC)^2+(BC)^2-(AC)(BC)sin2(阿發) 這個式子式怎魔得到的嗎?(或者 cos角BCA=sin(阿發)cos(阿發))

Note: 已經摺紙半天訂坐標越做越複雜 Drive me crazy!

作者: thepiano 時間: 2021-8-8 21:24 標題: 回復 23# anyway13 的帖子

作 BE 垂直 CD 於 E，連 AE

令 ∠BCD = α
BE = BC * sinα，CE = BC * cosα

AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 * AC * CE * cos∠ACE = AC^2 + BC^2 * (cosα)^2 - 2 * AC * BC * cosα * sinα

摺起來的 AB^2 = AE^2 + BE^2 = AC^2 + BC^2 * (cosα)^2 - 2 * AC * BC * cosα * sinα + BC^2 * (sinα)^2
= AC^2 + BC^2 - AC * BC * sin2α

AB = √(AC^2 + BC^2 - AC * BC * sin2α)

作者: Almighty 時間: 2021-8-9 01:09 標題: 回復 20# anyway13 的帖子

已知\(\Delta ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(\overline{AC}=12\)，\(\overline{BC}=5\)，\(D\)為斜邊\(\overline{AB}\)上動點，今沿著\(\overline{CD}\)將\(\Delta BCD\)折起，使得\(BCD\)面垂直\(ACD\)面，
(1)求\(\overline{AB}\)的最小值？
(2)在\(\overline{AB}\)有最小值時，設\(BAC\)面與\(DAC\)面的兩面角為\(\theta\)，則\(tan\theta=\)？
[解答]
圖"立起來"想像一下就可以參考了

圖片附件: S__138313731.jpg (2021-8-9 01:13, 227.46 KB) / 該附件被下載次數 2209
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作者: anyway13 時間: 2021-8-9 13:55 標題: 回復 24# thepiano25#Almighty的帖子

謝謝鋼琴師的回復以及Almighty老師的講解，向兩位老師多學一招。

作者: anyway13 時間: 2021-8-9 14:44 標題: 繼續追問計算一(2)

借用#25 Almighty 老師的圖  當角DCA=45度時,(也就是120sin(DCA)cos(DCA)最大)時,訂C(0,0,0) A(12,0,0) 折起來後的B*(5/2,5/2,(5根號2)/2)

得到AB的最短距離根號109

接下來計算一(2)  利用CB*向量=(5/2,5/2,(5根號2)/2), CA向量=(12,0,0)得法向量N1=(0,6根號5,0)

  令D(d1,d2,0),利用CD向量=(d1,d2,0), CA向量=(12,0,0)得法向量N2=(0,0,-12d2)

N1 N2= (N1長度)(N2長度)cos(theta)  最後得到cos(theta)=0  theta=90度    則求不出tan(theta)=根號2 ????

作者: thepiano 時間: 2021-8-9 17:49 標題: 回復 27# anyway13 的帖子

法向量 N1 有誤

作者: anyway13 時間: 2021-8-9 17:50 標題: 回復 28# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴師幫忙查看指點

會犯這種基本錯真是...

N1=(0,根號2,-1) cos(theta)=-1/(根號3)

tan(theta)=正負根號二 (根據折出來的角度大約50幾度) tan(theta)=根號2 取正的

作者: Almighty 時間: 2021-8-9 19:46 標題: 回復 27# anyway13 的帖子

再提供非...座標化的方法
還是單純從定義拉兩面腳的兩條線
(應該是有公式~我沒記就是了...慢慢推就好)

圖片附件: S__138354719.jpg (2021-8-9 19:47, 176.97 KB) / 該附件被下載次數 2183
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=6106&k=7bade22380b85cd070a76f7418d2e3f3&t=1742070505

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