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標題: 110竹北高中 [打印本頁]
作者: Superconan    時間: 2021-4-16 21:33     標題: 110竹北高中

第一部分填充題第 5 題，因符號誤植，本題送分。
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110.04.20
最低錄取分數：73分
複試人數：14人

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作者: bugmens    時間: 2021-4-16 22:06

6.
若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
(我的教甄準備之路　三角形面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)

16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)　　　公尺。

用12根鋼條架構出一個正六面體的裝置藝術，並在其底面裝上不透明的灰色面板\(OADC\)。今將其協立在公園的平地上。為了穩固此裝置
藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)、\(\overline{CC'}\)與\(\overline{DD'}\)。已知此正六面體的邊長為7公尺，且\(\overline{AA'}\)的長為2公尺，\(\overline{CC'}\)的長為3公尺。試回答下列問題：
(1)試問鐵柱\(\overline{DD'}\)的長為多少公尺？
(2)試問地面上的平行四邊形\(OA'D'C'\)的面積為多少平方公尺？
(3)試問鐵柱\(BB'\)的長為多少公尺？
(108北區第一次模擬考數甲，https://jacobmath.com/wp-content ... %95%B8%E7%94%B2.pdf)
作者: 呆呆右    時間: 2021-4-16 22:16

第5題打錯字應該會送分

第一部分後面5題來不及想。
作者: studentJ    時間: 2021-4-16 23:40

請教10.16
作者: czk0622    時間: 2021-4-16 23:47     標題: 回復 4# studentJ 的帖子

10.
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴式\(\cases{a_1=1\cr a_n=2a_{n-1}+2^n(n>1)}\)，試求一般式\(a_n=\)　　　。
[解答]
設 \(b_n=a_n-n\cdot 2^n\)，則 \(b_1=-1\)，\(b_n=2b_{n-1}\)
得 \(b_n=-2^{n-1}\)，\(a_n=n\cdot 2^n-2^{n-1}\)

16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)　　　公尺。
[解答]
坐標化
\(O(0,0,0),A(4,0,3),B(-3/2,5\sqrt{3}/2,2)\)，\(B\) 是 \(A\) 的 \(x,z\) 分輛對調,調整 \(OB\) 長度為 \(5\) ,高度為 \(2\) 得到的
\(C\) 將 \(OA\)、\(OB\) 向量外積調整長度 得 \(C(-3\sqrt{3}/2,-5/2,2\sqrt{3})\)
作者: BambooLotus    時間: 2021-4-16 23:50

16.
一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)　　　公尺。
[解答]
定座標\(O(0,0,0),A(5,0,0),B(0,5,0),C(0,0,5)\)，地面為\(ax+by+cz=0\)，不失一般性，令\(a,b,c\ge0\)
\(\displaystyle\frac{5a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=3,\frac{5b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=2\)，化簡可得\(3b^2=c^2\)
所求\(\displaystyle=\frac{5c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\sqrt{3}\cdot2=2\sqrt{3}\)
作者: koeagle    時間: 2021-4-17 00:00

想請教8、11，謝謝。
作者: Almighty    時間: 2021-4-17 07:19     標題: 回復 7# koeagle 的帖子

第8題
箱子裡有3個1號球，3個2號球，3個3號球，\(\ldots\)，3個22號球，共66個球。隨機從箱中取球，一次取1球，取後不放回，取3次，其值依序為\(x_1,x_2,x_3\)，則\(x_1<x_2<x_3\)的機率為　　　。
[提示]
選3個數字，每個數字3顆選1顆，固定次序1種排列

第11題
將4個相同的紅球與4個相同的藍球隨意排成一列，由左至右每個球依序對應標號\(1,2,3,\ldots,8\)，則4個紅球對應號碼和小於4個藍球對應號碼和的排列數共有　　　種。
[提示]
（全部-總和相等）/2
作者: thepiano    時間: 2021-4-17 07:43     標題: 回復 7# koeagle 的帖子

第 8 題
箱子裡有3個1號球，3個2號球，3個3號球，\(\ldots\)，3個22號球，共66個球。隨機從箱中取球，一次取1球，取後不放回，取3次，其值依序為\(x_1,x_2,x_3\)，則\(x_1<x_2<x_3\)的機率為　　　。
[解答]
從 1 ~ 22 這 22 個數字中，選 3 個有 C(22，3) 種方法
所求 = (3/66) * (3/65) * (3/64) * C(22，3)

第 11 題
將4個相同的紅球與4個相同的藍球隨意排成一列，由左至右每個球依序對應標號\(1,2,3,\ldots,8\)，則4個紅球對應號碼和小於4個藍球對應號碼和的排列數共有　　　種。
[解答]
全部 8! / (4!4!) = 70 種

兩者號碼和都 = 18，有以下 8 種
(1，2，7，8)
(1，3，6，8)
(1，4，5，8)
(1，4，6，7)
(2，3，5，8)
(2，3，6，7)
(2，4，5，7)
(3，4，5，6)

所求 = (70 - 8) / 2 = 31 種
作者: koeagle    時間: 2021-4-17 17:28     標題: 回復 9# thepiano 的帖子

謝謝 Almighty 老師。
謝謝 thepiano 老師。
作者: nanpolend    時間: 2021-4-19 22:00     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

第一題
高三上期末考結束後，大雄想請假在家讀書以全力準備學測，但學校規定「連續三日以上 (含三日)請假需請家長到校證明」，若大雄每天可以自由選擇上學或請假，而且他不想麻煩雄爸到校證明，那大雄本週一到週五出缺席的狀況有　　　種。
[解答]
全-不合(連三)
=2^5-3日請假-4日請假-5日請假
=32-3-4-1
=24
三日000xx x000x xx000
四日不合的00x00免家長來
五日00000
作者: nanpolend    時間: 2021-4-20 08:55     標題: 回復 11# nanpolend 的帖子

第二題
投擲一枚不均勻的硬幣，已知正面出現的機率是\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，反覆投擲，設數列\(\langle\;a_n\rangle\; \)定義如下：\(a_n=\cases{1，第n次投擲出現正面\cr -1，第n次投擲出現反面}\)，若\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)，則事件「\(S_8=2\)」的機率為　　　。
[解答]
S8=a1+...+a8
相當於二正後面三正三反對消
C8-3(1/3)^5(2/3)^3
=448/6561
作者: nanpolend    時間: 2021-4-20 10:09     標題: 回復 12# nanpolend 的帖子

第三題
若一個正八面體的頂點恰好為一個正立方體各面的中心點(即各面對角線之交點)，設八面體的體積為\(a\)，正立方體的體積為\(b\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b}=\)　　　。(以最簡分數表示)
[解答]
令正立方體邊長為1
正八邊形相當於二個金字塔
正八邊形邊長相當於等腰直角三角形之斜邊
腰長=1/2
因此斜邊=根號2/2
正八邊形體積=2*正四面體=2*1/3底面積*高
=2*1/3*1/2*1/2
=1/6
因此a/b=1/6

111.1.5版主補充圖形

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作者: acc10033    時間: 2021-4-20 10:59

請教13和15
作者: czk0622    時間: 2021-4-20 11:21     標題: 回復 14# acc10033 的帖子

13.
坐標平面上，在圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=4\)上取兩點\(A\)、\(B\)，使此兩點在\(x\)軸上方，且摺回劣弧\(AB\)使其恰與\(x\)軸相切於\((1,0)\)，則直線\(\overline{AB}\)的直線方程式為　　　。
[解答]
找 \(x^2+y^2=4\) 和 \((x-1)^2+(y-2)^2=4\) 的根軸 \(2x+4y=5\)

15.
有一個不公正的硬幣，投出正面的機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，投出反面的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，若投擲50次，則硬幣出現\(2k\)次(\(k=0,1,2,\ldots,25\))正面的機率為\(\displaystyle \frac{1}{a}(b+\frac{1}{c^d})\)，其中\(a,b,c,d\in N\)，且\(c\)為質數。求數組\((a,b,c,d)=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{25} C^{50}_{2k} \left(\frac{2}{3}\right)^{2k}\left(\frac{1}{3}\right)^{50-2k}\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{3}\right)^{50} \sum\limits_{k=0}^{25} C^{50}_{2k} 2^{2k}\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{3}\right)^{50} \cdot \frac{(2+1)^{50}+(2-1)^{50}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{30^{50}}\right]\)
作者: nanpolend    時間: 2021-4-20 14:47     標題: 回復 13# nanpolend 的帖子

4.
設\(\omega\)為方程式\(x^5=i\)的一根，試求\(|\;1-\omega|\;\)的最大值　　　。(請以\(asin\theta\)表示，其中\(a>0\)，\(\theta\)為銳角)
[解答]
X^5=i=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)
用隸美弗定理k=0,1,2,3,4
角度分別為18.90.162.234.306度
(速解)
一半角度9.45.81.117.153度
原式=2sin一半角度
sin是增函數因此最大值2sin81度
(推導)
用二倍角公式轉換成半角公式
絕對值=根號a平方+b平方
再代換在平方和根號對消
最後解出2sin一半角度
作者: nanpolend    時間: 2021-4-20 16:44     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

6.
若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
[解答]
根與係數和海龍公式
a+b+c=10
ab+bc+ac=44
abc=14
s=1/2(a+b+c)=5
三角形面積=根號s(s-a)(s-b)(s-c)=9根號5
(PS)詳細的代換就自己試吧
作者: nanpolend    時間: 2021-4-20 22:55     標題: 回復 17# nanpolend 的帖子

7.
一個凸四邊形\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=6\)，\(\overline{CD}=5\)，且\(\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ}\)，則內積\(\vec{BC}\cdot \vec{AD}=\)　　　。
[解答]
相當於圓內接四邊形
AD=5根號3   AC
根據托勒密定理
BD=4+3根號3(二對邊相乘和=對角線相乘)
內積BC*AD=(BD+DC)*AD
答案27+12根號3  我算過一遍沒錯
應該也可以BC*(AB+BD)分解
直角的向量為0
作者: nanpolend    時間: 2021-4-21 22:59     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教9.12.14
作者: tsusy    時間: 2021-4-21 23:40     標題: 回復 19# nanpolend 的帖子

填題 9.
相機的影像是光線投射在一片長方形的感光元件(CMOS)上，再轉換為電子訊號儲存在記憶體中，我們看到的相片為由此感光元件接收到之光線所呈現。已知相機在拍攝時，因為光線的折射與感光元件等因素會導致影像變形。假設有一款手機上的相機，在初始設計上影像會產生線性變形，即照片上的影像為真實影像產生旋轉、伸縮、推移等線性變換。如右圖，為了校正此變形，設定一個座標平面上的正方形 \(ABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(1,0)\)、\(B(1,1)\)、\(C(0,1)\)，以此相機拍攝此正方形後，相片上呈現平行四邊形\(OA'B'C'\)影像，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)分別變換至\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，且\(\displaystyle A'\left(\frac{24}{25},\frac{7}{25}\right)\)、\(\displaystyle C'\left(\frac{-1}{7},1\right)\)。工程師發現此變形是影像先產生沿\(x\)軸方向的推移變換，然後再以原點\(O \)為中心旋轉\(\theta\)角所導致，於是工程師利用軟體將照片上的影像坐標先旋轉\(-\theta\)角，再經由一個二階方陣\(M\)線性變換為正確的影像坐標，則此方陣\(M\)為　　　。
[解答]
依題意知 \( \theta \) 為銳角，且 \( \cos \theta  = \frac 7{25} \)
將 \( C' \) 轉 \( -\theta \) 回去，即 \( \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{24}{25} & \frac{7}{25}\\
-\frac{7}{25} & \frac{24}{25}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{1}{7}\\
\:1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}\\
1
\end{pmatrix} \)

故，原沿 x 軸方向的推移，將 \( C(0,1) \) 推至 \( (\frac{1}{7},1) \) ，故此推移矩陣為 \( \begin{pmatrix}\displaystyle1 & \frac{1}{7}\\
0 & 1
\end{pmatrix} \)，其反方陣為 \( \begin{pmatrix}\displaystyle 1 & \frac{-1}{7}\\
0 & 1
\end{pmatrix} \)

填充 14.
假設地球是完美的球形，沿著北緯\(60^{\circ}\)線將地球剖成兩塊，若小塊的體積；大塊的體積比\(\displaystyle =1:\frac{(a+b\sqrt{3})^2}{c}\)，其中\(a,b,c\in N\)，且\(c\)為質數。求數組\((a,b,c)=\)　　　。
[解答]
依題意
\(\displaystyle \frac{(a+b\sqrt{3})^{2}}{c}=\left(\int_{-2}^{\sqrt{3}}4-x^{2}dx\right)/\left(\int_{\sqrt{3}}^{2}4-x^{2}dx\right) \)

計算積分得 \(\displaystyle \int_{-2}^{\sqrt{3}}4-x^{2}dx=3\sqrt{3}+\frac{16}{3}, \int_{\sqrt{3}}^{2}4-x^{2}dx=-3\sqrt{3}+\frac{16}{3} \)

故 \(\displaystyle \frac{(a+b\sqrt{3})^{2}}{c} = \frac{16+9\sqrt{3}}{16-9\sqrt{3}} = \frac{(16+9\sqrt{3})^{2}}{256-243} = \frac{(16+9\sqrt{3})^{2}}{13} \)

故 \( (a,b,c) = (16,9,13) \)
作者: czk0622    時間: 2021-4-22 08:22     標題: 回復 19# nanpolend 的帖子

12.
坐標平面上一直線\(x-my=n(n>0)\)過點\(A(5\sqrt{3},5)\)，若\(\cases{x-\sqrt{3}y\ge 0\cr y\ge 0}\)所圍成之區域的外接圓直徑為20，則\(n=\)　　　。
[解答]
設 \( A(5\sqrt{3},5)\) 為 \(x-my=n\) 和 \(x-\sqrt{3}y=0\) 軸的交點
設 \(B(n,0)\) 為 \(x-my=n\) 和 \(x\) 軸的交點
由 \(\displaystyle 20=\frac{\overline{AB}}{\sin{30^{\circ}}}\) 得 \(\overline{AB}=10\)
\(\overline{AB}^{2}=(5\sqrt{3}-n)^{2}+5^{2}=10^{2}\)
\(n=10\sqrt{3} \vee 0\) (\(0\)不合)
作者: nanpolend    時間: 2021-4-23 19:56     標題: 回復 21# czk0622 的帖子

感謝大大解答
作者: nanpolend    時間: 2021-4-24 18:35     標題: 回復 20# tsusy 的帖子

補充

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作者: icegoooood    時間: 2021-4-29 17:28     標題: 回復 5# czk0622 的帖子

不好意思，
第十題
請問要如何令bn，是如何得知要從何令起的


還有請問第13題的
(x−1)^2+(y−2)^2=4 是如何找出的呢?

謝謝您!
作者: czk0622    時間: 2021-4-29 20:45     標題: 回復 24# icegoooood 的帖子

10.
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴式\(\cases{a_1=1\cr a_n=2a_{n-1}+2^n(n>1)}\)，試求一般式\(a_n=\)　　　。
[解答]
策略是將 \(2^n\) 有效的分配給 \(a_n\) 和 \(a_{n-1}\) 使分配後的數列為等比數列
若設 \(b_{n}=a_{n}+k\cdot 2^n\) 會發現無論 \(k\) 為何值 \(2^n\) 都會被抵銷
想要留下 \(2^n\) 勢必要在 \(2^n\) 前面乘上一個當 \(n\) 下降 \(1\) 而整個式子右邊會多 \(2^n\) 的東西
所以選擇乘 \(-n\)
因此 \(a_{n}-n\cdot 2^n =2[a_{n-1}-(n-1)\cdot 2^{n-1}]\)

13.
坐標平面上，在圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=4\)上取兩點\(A\)、\(B\)，使此兩點在\(x\)軸上方，且摺回劣弧\(AB\)使其恰與\(x\)軸相切於\((1,0)\)，則直線\(\overline{AB}\)的直線方程式為　　　。
[解答]
考慮 \(x^2+y^2=4\) 對稱折線的圓與 \(x\) 軸相切於 \((1,0)\)
因為圓半徑為 \(2\) 且與 \(x\) 軸相切且在 \(x\) 軸上方
所以圓心為 \((1,2)\)
即此圓為 \((x-1)^2+(y-2)^2=4\)

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作者: laylay    時間: 2021-4-30 10:05     標題: 填充6.

6.
若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
[解答]
s=(a+b+c)/2=10/2=5 , 所求=ㄏ(s*f(s))=ㄏ(5*81)=9ㄏ5

填充 7.
一個凸四邊形\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=6\)，\(\overline{CD}=5\)，且\(\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ}\)，則內積\(\vec{BC}\cdot \vec{AD}=\)　　　。
[解答]
連AC長10 , AD=5ㄏ3 , 設 DA交CB 於E ,ACD=60度
所求=6* 5ㄏ3*cos(DEC)=30ㄏ3*sin(ACB+60度)
　　 =30ㄏ3*(8/10*1/2+6/10*(ㄏ3)/2)=27+12ㄏ3

填充 8.
箱子裡有3個1號球，3個2號球，3個3號球，\(\ldots\)，3個22號球，共66個球。隨機從箱中取球，一次取1球，取後不放回，取3次，其值依序為\(x_1,x_2,x_3\)，則\(x_1<x_2<x_3\)的機率為　　　。
[解答]
C(22,3)*3^3/P(66,3)=63/416

填充 10.
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴式\(\cases{a_1=1\cr a_n=2a_{n-1}+2^n(n>1)}\)，試求一般式\(a_n=\)　　　。
[解答]
a1=1                   ......(1)
a2= 2a1+2^2       ......(2)
.......................
an= 2a(n-1)+2^n  ......(n)
(1)*2^(n-1)+(2)*2^(n-2)+......+(n)*2^(n-n) => an=2^(n-1)+2^n+2^n+.....2^n=(2n-1)*2^(n-1)
作者: icegoooood    時間: 2021-4-30 16:33     標題: 回復 25# czk0622 的帖子

謝謝czk0622老師!

受益匪淺，受教了，又學到了新的東西~
作者: 5pn3gp6    時間: 2022-1-30 11:22

最近再做一次，忽然想到第6題似乎出錯了

6.
\(a,b,c為三角形三邊長，且a,b,c為x^3-10x^2+44x-14=0的三根\)

設\(f(x)=x^3-10x^2+44x-14\)，則\(f'(x)=3x^2-20x+44\)
又\(f'(x)=3x^2-20x+44=0的判別式D=20^2-4*3*44<0\)
故\(f(x)\)在實數上無導數為0之處，
則\(x^3-10x^2+44x-14=0\)只有一實根，與\(邊長a,b,c\)為其三根不合

照這個題意，邊長不會是虛數



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