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標題: 請問一題級數和問題 [打印本頁]

作者: satsuki931000 時間: 2017-4-10 11:51 標題: 請問一題級數和問題

請證明該級數和\( \displaystyle \sum_{k=1,k\ne n}^{\infty}\frac{1}{k^2-n^2}=\frac{3}{4n^2} \)

目前只想到用平方差拆開去看有沒有什麼線索

結果看起來無功而返

想請各位老師幫忙

作者: weiye 時間: 2017-4-10 12:30

直接分項對消就可以了 \(\displaystyle \frac{1}{k^2-n^2} = \frac{1}{2n}\left(\frac{1}{k-n}-\frac{1}{k+n}\right)\)

所求對消之後剩下的 \(\displaystyle =\frac{1}{2n}\left(\frac{1}{1-n}+\frac{1}{2-n}+\cdots+\frac{1}{-1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2n}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{3}{4n^2}\)

作者: satsuki931000 時間: 2017-4-10 12:59 標題: 回復 1# weiye 的帖子

不好意思

能把第2行的算式來由寫詳細點嗎

資質駑鈍有點看不太懂

謝謝

作者: weiye 時間: 2017-4-10 17:22

1. 粉紅色框起來的兩區塊，互為相反數。

2. 畫螢光筆的地方，左右兩直行會對消。

圖片附件: 2017-04-10 17.15.01.jpg (2017-4-10 17:28, 595.23 KB) / 該附件被下載次數 6041
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