標題: 不等式證明 [打印本頁]

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作者: tsyr    時間: 2015-2-20 07:21     標題: 不等式證明

設
\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}=p\)
\(\sum_{1\leq i<k\leq n}^{ }x_{i}x_{k}=q\)
(n>2)
試證:若\(K=p^{2}-\frac{2n}{n-1}q\)，
        則\(\frac{p}{n}-\frac{n-1}{n}\sqrt{K}\leq x_{i}\leq \frac{p}{n}+\frac{n-1}{n}\sqrt{K}\)
(i=1,2,3,...,n)

[ 本帖最後由 tsyr 於 2015-2-20 07:29 AM 編輯 ]

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作者: tsusy    時間: 2015-2-20 09:21     標題: 回復 1# tsyr 的帖子

\( p^{2}-2q=\sum x_{j}^{2} \)

\( \left[\left(\sum x_{j}^{2}\right)-x_{i}^{2}\right]\left[n-1\right]\ge\left[\left(\sum x_{j}\right)-x_{i}\right]^{2} \)

\( \Rightarrow(p^{2}-2q-x_{i}^{2})(n-1)\geq(p-x_{i})^{2} \)

\( \Rightarrow nx_{i}^{2}-2px_{i}-(n-2)p^{2}+2q(n-1)\leq0 \)

等於 0 時的兩根為 \( \displaystyle \frac{2p\pm\sqrt{(4+4n^{2}-8n)p^{2}-8qn(n-1)}}{2n}=\frac{p}{n}\pm\frac{n-1}{n}\sqrt{p^{2}-\frac{2n}{n-1}q} \)

故 \( \frac{p}{n}-\frac{n-1}{n}\sqrt{K}\leq p\leq\frac{p}{n}+\frac{n-1}{n}\sqrt{K} \)

這個手法可見於 99 師大附中瑋岳解題、https://math.pro/db/thread-61-1-2.html

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-2-20 09:22 AM 編輯 ]

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作者: tsyr    時間: 2015-2-20 16:33     標題: 回復 2# tsusy 的帖子

謝謝!
再補上k>=0就解決了
新年快樂!

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