標題: 99華江高中 [打印本頁]

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作者: johncai    時間: 2010-7-15 21:44     標題: 99華江高中

設n為自然數
f(n)為n表示成a0．1 + a1．2 + a2．2^2+ a3．2^3+ … 之方法數
其中ak為0、1、2

例：f(4)=3
因為 4 = 0．1 + 0．2 + 1．2^2
4 = 0．1 + 2．2
4 = 2．1 + 1．2
共3種方法

求 (1)若n為奇數，證f(n) = f((n-1)/2)，並求f(401)
(2)以評量觀點來看，(1)的敘述略有不妥，試說明

請教各位高手
謝謝!
ps.第(1)小題15分，第(2)小題6分

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-7-16 05:57 PM 編輯 ]

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作者: 老王    時間: 2010-7-16 11:40

提供淺見
(1)如果n是奇數，那麼必定要用一個1，
也就是\( a_0=1 \)
\( \displaystyle n=1+a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)

\( \displaystyle n-1=a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)

\( \displaystyle \frac{n-1}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)

於是n的一種表示法就對應\( \frac{n-1}{2} \) 的一種表示法，這是一一對應的，故有
\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n-1}{2}) \)


(2)如果n是偶數，那麼\(a_0 \)可以是0或2
若\( a_0=0 \)
\( \displaystyle n=a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)

\( \displaystyle \frac{n}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)

而若\( a_0=2 \)
\( \displaystyle n=2+a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)

\( \displaystyle \frac{n-2}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)

所以有\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n}{2})+f(\frac{n-2}{2}) \)

所以
\( \displaystyle f(401)=f(200)=f(100)+f(99)=f(50)+f(49)+f(49)=f(25)+f(24)+2f(24) \)

\( \displaystyle =f(12)+3f(12)+3f(11)=4f(6)+4f(5)+3f(5)=4f(3)+4f(2)+7f(2)=4f(1)+11f(2)=26 \)


至於有何不妥，我想是
(1)n應該要是大於1的奇數
(2)只給\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n-1}{2}) \) ，尚不足以求出\( f(401) \)的值，要多給一點提示較佳吧。

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作者: bugmens    時間: 2010-7-16 17:59

題目如附件

附件: 99華江高中.pdf (2010-7-16 17:59, 173.16 KB) / 該附件被下載次數 12242
https://mathpro.net/db/attachment.php?aid=280&k=3b029832387a96174f3c832f1124c92c&t=1742055493

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作者: johncai    時間: 2010-7-18 19:48

想請教一下1,6,7題
謝謝!
順便問一下第7題Z的機率是甚麼意思呢?

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作者: weiye    時間: 2010-7-18 20:39

第 1 題

令 \(A(2,-2), B(12,1), C(x,\log x)\)

\(\left|\overline{AC}-\overline{AB}\right|\leq \overline{BC}=\sqrt{109}.\)





第 6 題

目前只有想到很醜陋的硬算，

令 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，

由 \(f(1)=2,\,f(2)=5,\,f(3)=10\)，

可得 \(\displaystyle a=\frac{1-d}{6},\,b=d,\,c=\frac{11-11d}{6}\)，

再帶入 \(b^2-3ac=0\)，可得 \(d\) 之值。

故，可得 \(f(x)\)，亦可得 \(f(4).\)





第 7 題

\(Z\) 分配：平均數為 \(0\) 且標準差為 \(1\) 的常態分配。

\(75\) 分以上所佔比例為 \(\displaystyle\frac{12}{300}=0.04=0.5-0.46\)

因為測驗分數成常態分配，

所以 \(75\) 分＝平均分數＋\(1.75\)個標準差 。

故，此次測驗平均分數為 \(75-8\times1.75=61\)。

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作者: liengpi    時間: 2010-7-20 00:19

補一下初試通過最低錄取分數  64分  
雖然我進了複試 可是我面試時被電的非常的慘烈

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作者: arend    時間: 2010-7-20 01:37

請問第8題的答案為何?
謝謝

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作者: arend    時間: 2010-7-20 01:45

請問瑋岳老師
您第三題的解中寫到
b^2-3ac=0
跟原題中恰有一水平切線
怎麼個解釋
謝謝

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作者: weiye    時間: 2010-7-20 08:12

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\Rightarrow f\,'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(\Rightarrow f\,'(x)=0\) 的判別式為 \(\left(2b\right)^2-4\cdot\left(3a\right)\cdot c=4\left(b^2-3ac\right)\)

所以

case 1: \(y=f(x)\) 有兩條水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 有兩相異實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac>0.\)

case 2: \(y=f(x)\) 恰有一條水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 有兩相等實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac=0.\)

case 3: \(y=f(x)\) 無水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 無實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac<0.\)

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作者: arend    時間: 2010-7-20 15:12

謝謝瑋岳老師
把他想成有反曲點
所以用二次微分等於0,好複雜

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作者: arend    時間: 2010-7-20 16:13

請問計算證明第一題答案是f(m,n)=m+n+1嗎?

還有大8題怎麼算?
我是用三角形ABD:三角形ACE=ABXAD:ACxAE=3:4

角形ABE:三角形ACD=ABXAE:ACxAD=5:4
兩式相除得AD;AE:=3:sqrt(5)再用角平分線作

答案跟公布差很大
有人可以幫幫忙嗎?
謝謝

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作者: johncai    時間: 2010-7-20 16:41

計算第一題和填充第8題皆可參考PTT數學板

[ 本帖最後由 johncai 於 2010-7-20 04:42 PM 編輯 ]

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作者: witz    時間: 2010-7-20 17:59

引用:

原帖由 liengpi 於 2010-7-20 12:19 AM 發表
補一下初試通過最低錄取分數  64分  
雖然我進了複試 可是我面試時被電的非常的慘烈

冒昧請問:
是如何情形?可以分享參考嗎?
看到正取二及備取從缺,不知情形如何?

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作者: liengpi    時間: 2010-7-20 22:15

其他人表現如何我不知道
但是我分享我被問的問題
在PTT實習教師師版
希望可以供您參考

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作者: kittyyaya    時間: 2011-1-17 02:11

請教計算第1題,謝謝
我去ptt版,有查到發文內容,可是作者一開始就說claim:f(m,n)=m+n+1
我該如何知道這個一般式,本題應該是討論歸納,可是,我卻不知該如何討論得知,還是有其他想法,
懇請先進能指教,謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2011-1-17 11:39 PM 編輯 ]

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作者: weiye    時間: 2011-2-22 00:27

感謝網友 moun9 提醒如下：

引用:

老師您好:

在您的數學板上的99華江高中那份考題

填充題6.

其實可以令 \(f(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)+x^2+1\)

這樣應該會比較好算喔

再搭配將 \(f(x)\) 展開之後，利用 \(f\,'(x)=0\) 的「判別式\(=0\)」，

可以很快解出 \(k\)，

這樣來解的確有比較快，感謝。

^___^

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作者: cally0119    時間: 2011-5-22 23:41

不好意思!我無法看到PTT的第8題,可以稍微提式一下嗎?

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作者: weiye    時間: 2011-5-23 00:12     標題: 回復 17# cally0119 的帖子

第 8 題於 PTT 的解答
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1279107636.A.BCE.html

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作者: cally0119    時間: 2011-5-23 00:23

謝謝!1速度好快!1

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作者: dennisal2000    時間: 2011-7-1 21:27

引用:

原帖由 weiye 於 2011-5-23 12:12 AM 發表
第 8 題於 PTT 的解答
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1279107636.A.BCE.html

抱歉! 我看了連結, 還是不懂>"<

        我只有看出一個地方有相同角, 這樣應該還不構成相似形的條件吧

        另外,他的答案 是 2/根號7 和我手上的解答 根號10 / 4 也是很不相同的@@"

        不知道是否我的答案有誤~~

        請老師指教!!

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作者: tsusy    時間: 2014-6-7 19:10     標題: 回復 5# weiye 的帖子

填充  6. 整理舊東西，發現這題以前沒解出來

另解. 令 \( f'(x)=\frac{a}{3}(x-b)^{2}\Rightarrow f(x)=a(x-b)^{3}+c \),

\( \begin{cases}
3 & =f(2)-f(1)=a(3b^{2}-9b+7)\\
5 & =f(3)-f(2)=a(3b^{2}-15b+19)
\end{cases} \)，兩式相除可解得 \( b=\pm\sqrt{\frac{11}{3}} \) ，

而得 \( a=\frac{3}{18\mp3\sqrt{33}}=\frac{6\pm\sqrt{33}}{3} \)

\( f(4)- 3f(3) + 3f(2) - f(1) = 3! \times a \Rightarrow f(4) =17+(12\pm2\sqrt{33})=29+2\sqrt{33} \)。

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作者: martinofncku    時間: 2014-12-31 22:51

想請問老師填充第 2, 4, 8 題

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作者: qaz    時間: 2015-1-1 00:57     標題: 填充第4題

填充第4題：

(甲乙不同，其餘4人任意分)-(甲乙不同，甲A，其餘4人任意分)
-(甲乙不同，乙B，其餘4人任意分)+ (甲A乙B，其餘4人任意分)

= P三取二(甲乙不同)×3^4 (餘4人任意分)  -  2(乙C或B)×3^4 (餘4人任意分)  -  2(甲C或A)×3^4(餘4人任意分)  +  3^4(甲A乙B，其餘4人任意分)
=486-162-162+81
=243

[ 本帖最後由 qaz 於 2015-1-1 03:33 PM 編輯 ]

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作者: qaz    時間: 2015-1-1 01:19

填充第2題：

一個數的全部因數積= 本身^(因數個數/2)
60、30、15最大公因數是15

分解2^60×3^30×5^15  = (2^4×3^2×5^1)^15
恰好2^60×3^30×5^15有 (4+1)( 2+1)( 1+1)=30(個)因數  是15的兩倍

所以n=2^4×3^2×5^1=720

[ 本帖最後由 qaz 於 2015-1-1 12:29 PM 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2015-1-1 16:28     標題: 回復 22# martinofncku 的帖子

第4題
分以下三種情形
(1)甲B班，乙A班
(2)甲B班，乙C班
(3)甲C班，乙A班
每種情形，另四人都有\({{3}^{4}}=81\)種分法
所求\(=81*3=243\)

第8題
\(\begin{align}
  & \frac{\Delta ABD}{\Delta ACE}=\frac{\overline{BD}}{\overline{EC}} \\
& \frac{\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times \overline{AD}\times \sin \angle BAD}{\frac{1}{2}\times \overline{AC}\times \overline{AE}\times \sin \angle CAE}=\frac{3}{4} \\
& \frac{\overline{AB}\times \overline{AD}}{\overline{AC}\times \overline{AE}}=\frac{3}{4}\quad \ldots \ldots \left( 1 \right) \\
&  \\
& \frac{\Delta BAE}{\Delta CAD}=\frac{\overline{BE}}{\overline{DC}} \\
& \frac{\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times \overline{AE}\times \sin \angle BAE}{\frac{1}{2}\times \overline{AC}\times \overline{AD}\times \sin \angle CAD}=\frac{5}{6} \\
& \frac{\overline{AB}\times \overline{AE}}{\overline{AC}\times \overline{AD}}=\frac{5}{6}\quad \ldots \ldots \left( 2 \right) \\
&  \\
& \left( 1 \right)\times \left( 2 \right) \\
& \frac{{{\overline{AB}}^{2}}}{{{\overline{AC}}^{2}}}=\frac{5}{8} \\
& \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\sqrt{10}}{4} \\
\end{align}\)

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作者: martinofncku    時間: 2015-1-2 04:34     標題: 回復 25# thepiano 的帖子

謝謝老師

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