112高雄女中

前面那篇並不是考試當中的題目所以就重發一篇，總共12題，不過有6題沒什麼討論價值。
為了增加討論性就先不丟自己算的答案了。

請教4.5.6.11,謝謝

第 4 題
1 次就停止：丟出 1，機率 1/6
2 次才停止：第一次丟出 2～6，第二次丟出 1 或與第一次相加為 8，機率 (5/6) * (2/6)
3 次才停止：第一次丟出 2～6，第二次丟出非 1 或與第一次相加為 8，第三次丟出 1 或與第二次相加為 8，機率 (5/6) * (4/6) * (2/6)
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k 次才停止：機率 (5/6) * (4/6)^(k-2) * (2/6)

E(X) = 1 * (1/6) + [2 * (5/6) * (1/3) + 3 * (5/6) * (2/3) * (1/3) + … + k * (5/6) * (2/3)^(k-2) * (1/3)]
= 1/6 + (5/18) * Σ[k * (2/3)^(k-2)] = 1/6 + (5/18) * 12 = 7/2

再求出 E(X^2) = 37/2
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 25/4

第 5 題
把 10 個格子，從左下角順時針編號 1 ～ 10，其中編號 3 在左上角，編號 7 在右上角，編號 10 在右下角

接著就類似走 10 階樓梯，a_1 ～ a_10 分別表示到此格的走法數
a_1 = 1
a_2 = 2
a_3 = 4
a_4 = 2 + 4 = 6
a_5 = 2 + 4 + 6 = 12
a_6 = 4 + 6 + 12 = 22
a_7 = 6 + 12 + 22 = 40
a_8 = 22 + 40 = 62
a_9 = 22 + 40 + 62 = 124
a_10 = 40 + 62 + 124 = 226
特別注意 a_4 和 a_8，所求是 a_10

第 6 題
以下用 K 取代 K_5

從 A 走到 K，最少走 3 段，即 A—C—E—K，機率是 (1/4)^3

再來是走 5 段，例：A—C—(B)—C—E—K，中間括號裡有 A、B、D、E 這 4 種情形，機率是 (1/4)^5 * 4 = (1/4)^4

再來是走 7 段，例：A—C—(B)—C—(D)—C—E—K，中間 2 個括號裡各有 A、B、D、E 這 4 種情形，機率是 (1/4)^7 * 4^2 = (1/4)^5

所求 = (1/4)^3 + (1/4)^4 + (1/4)^5 + …… = 1/48


第 11 題
用手機打字很麻煩，不過應該跟黎曼和有關