114竹北高中
114竹北高中 想問填充10,16和計算1 16.令\(\displaystyle \tan\theta=k,\tan\frac{\theta}{2}=t\)，\( \displaystyle O_1(\frac{y_1}{t},y_1),O_2(\frac{y_2}{t},y_2)\)
把P代到圓，\( \displaystyle (2-\frac{y}{t})^2+(2-y)^2=y^2 \)，整理得\( \displaystyle \frac{y^2}{t^2}+(...)y+8 = 0\)
兩根之積：\(y_1y_2=r_1r_2=2\)就可以知道\( \displaystyle t=\frac{1}{2}\)，再二倍角回去就好
計算1，令\( B(x,y) \)，\(\displaystyle \frac{y}{x+\frac{9}{2}}\times \frac{y}{x+2}=-1\)，\( \displaystyle x^2+\frac{13}{2}x+9+y^2 = 0\)，橢圓整理成\(\displaystyle \frac{5}{9}x^2+y^2=5\)
相減求出\(\displaystyle x=-12或-\frac{21}{8}\)，-12不合，代回橢圓求出\(\displaystyle y = \pm\frac{5\sqrt{3}}{8}\)(正不合)
[[i] 本帖最後由 BambooLotus 於 2025-3-8 08:10 編輯 [/i]] 想請問 填充 1 , 2 , 7 , 12 ,14
回覆 4# kobelian 的帖子
填充12可以將上面那條式子看成兩個圖形同時正跟同時負的狀況去看區域
所以整個題目的圖形就可以畫出來
接下來就是利用線性規劃去看題目求的那條線在什麼時候切到這些區域會有最小值
回覆 4# kobelian 的帖子
填充2將a代換成x代進去題目給的式子
稍微整理一下就有兩種情況可以討論 並且有一個情況會為定值
之後在這個情況的結果去反推a的範圍
回覆 4# kobelian 的帖子
填充7這題我考試的時候沒想到其中一個也要討論的情況
除了要討論三次函數圖形與x軸的交點範圍外
你還要去討論說這個三次函數的極大極小值發生的時候是否會在第二象限的那條線上以及是否會在第四象限的那條線下 1易知f(x)是一次函數，設f(x)=ax+b,則f(t)=at+b,爆開比較係數
12.2x-y=k從上往下壓切圓，答案應該是1-sqrt(5)，但符合第一行式子的限制的話，於雙曲線與圓交點(0.4,1.8) (一大早起來看沒看到x在分母)
[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2025-3-8 10:47 編輯 [/i]]
回覆 3# BambooLotus 的帖子
謝謝老師，我全部都停在第一行然後不敢爆開，看來是不夠勇敢回覆 8# cut6997 的帖子
請教填充1，f(x) 並沒有定義它是多項式函數，要怎麼確定這件事？ 填充12y=18/(25x) 是一個雙曲線，第一個不等式得知要同時在 y=x 或 y=18/(25x) 的上方或下方（可用ggb或desmos畫畫看）
第二個不等式得知在園內或邊界上
透過線性規劃可知答案要取通過圓和雙曲線的點（看不出來的話就把直線和圓的交點也算出來比大小）
令x=1+cost,y=1+sint 代入xy=18/25 得到 sint*cost+sint+cost=-7/25（其實到這一步可以猜答案了，猜不到就繼續算）
令sint+cost=k,此時sint*cost=(k^2-1)/2 解 k再回來解 sint, cost 即可 [quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2025-3-8 09:49 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26744&ptid=3938][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教填充1，f(x) 並沒有定義它是多項式函數，要怎麼確定這件事？ [/quote]
等式左右對x微分, 就可以知道了 7. 不太聰明的方法，可能也有一點敘述不清，還請指教
考慮 \(x<0\) 的情況，兩圖形要有3交點
首先畫圖易知\(f(0)=6a^2-8<0\)，即\(\displaystyle a^2<\frac{4}{3}\)
又因為\(f(x)\)必定通過原點，所以只要滿足上述條件並且保證讓f(x)與\(y=x+2\)有非相切的交點即可
考慮\(f(x)=x^3-3a^2x\) 與 \(g(x)=x+2\)需要有兩個交點
\(x^3-(3a^2+1)x\) 的極大值為\(\displaystyle \frac{2(3a^2+1)\sqrt{3a^2+1}}{3\sqrt{3}}<2\)
解得\(\displaystyle a^2>\frac{2}{3}\)
故\(\displaystyle\frac{2}{3}<a^2<\frac{4}{3}\) ，所以\(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}<a<\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 11:13 編輯 [/i]] 想詢問填充6,11,14 謝謝
回覆 2# 余師傅 的帖子
計算第 1 題x^2/9 + y^2/5 = 1
a = 3，b = √5，c = 2
F_1(-2，0)、Q(-9/2，0)，B(x，y)
y^2 = 5 - (5/9)x^2
x = -9/2 是橢圓的準線
作 BP 垂直 x = -9/2 於 P
則 BF_1/BP = c/a = 2/3
BP = x + 9/2，BF_1 = (2/3)x + 3，PQ = -y
QB⊥AB
QF_1^2 - BF_1^2 = BQ^2 = BP^2 + PQ^2
(5/2)^2 - [(2/3)x + 3]^2 = (x + 9/2)^2 + [5 - (5/9)x^2]
x = -21/8 or -12(不合)
B(-21/8，-(5/8)√3)
直線 L 之斜率為 √3
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 11:52 編輯 [/i]]
回覆 14# Bufi 的帖子
11.設\(g(x)=f(x+2)-2\)，\(h(x)=f(2x+1)\)因為\(g(x)\)為奇函數，可以得到\(f(x+2)+f(-x+2)=4\)
因為\(h(x)\)為偶函數，可以得到\(f(2x+1)=f(-2x+1)\)
由奇函數的條件，有
\(f(2)=f(0)\)
\(f(3)=f(-1)\)
\(f(4)=f(-2)\)...
由偶函數的條件
\(f(3)+f(1)=4\)
\(f(4)+f(0)=4 \Rightarrow f(4)+f(2)=4\)
\(f(5)+f(-1)=4 \Rightarrow f(5)+f(3)=4\)
因此\(f(1),f(2)\cdots f(2025)\)每四個一組為一循環
\(f(1)=0,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=2 \cdots f(2025)=0\)
為\(8\times 506=4048\)
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 13:44 編輯 [/i]]
回覆 14# Bufi 的帖子
第 14 題已知函數\(f(x)=x^2-x+\sqrt{2x^4-6x^2+8x+16}\)在\(x=a\)時有最小值\(m\)，則數對\((a,m)=\)[u] [/u]。
[解答]
f(x) = x^2 - x + √(2x^4 - 6x^2 + 8x + 16)
= √2{|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]}
|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
即 y = x^2 上一點 A(x，x^2) 到直線 y = x 之距離與到 B(-2，2) 之距離和
點 A 為 y = -x 與 y = x^2 之交點
最小值為 OB = 2√2
m = 4
-x = x^2，x = 0 or -1
所求為 (0，4) or (-1，4)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 13:54 編輯 [/i]]
回覆 14# Bufi 的帖子
第 6 題如圖，上底 6，下底 1，腰長 x 之等腰梯形
紅高 = (√3/2) * 6 - x - (√3/2) * 1 = (5/2)√3 - x
((5/2)√3 - x)^2 + (5/2)^2 = x^2
x = 5/√3
三角錐之高 = √[(5/√3)^2 - (√3/3)^2] = 2√2
三角錐之體積 = (1/3) * (√3/4) * 2^2 * 2√2 = (2/3)√6
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 17:16 編輯 [/i]] 填充6
請教piano老師，這裡的式子為何多需要除以2
回覆 19# peter0210 的帖子
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