Math Pro 數學補給站's Archiver

所謂「信心」,
是無論景氣再壞,都要相信自己有能力。

kobelian 發表於 2025-3-7 21:02

114竹北高中

114竹北高中

余師傅 發表於 2025-3-8 00:25

想問填充10,16和計算1

BambooLotus 發表於 2025-3-8 07:56

16.
令\(\displaystyle \tan\theta=k,\tan\frac{\theta}{2}=t\),\( \displaystyle O_1(\frac{y_1}{t},y_1),O_2(\frac{y_2}{t},y_2)\)
把P代到圓,\( \displaystyle (2-\frac{y}{t})^2+(2-y)^2=y^2 \),整理得\( \displaystyle \frac{y^2}{t^2}+(...)y+8 = 0\)
兩根之積:\(y_1y_2=r_1r_2=2\)就可以知道\( \displaystyle t=\frac{1}{2}\),再二倍角回去就好

計算1,令\( B(x,y) \),\(\displaystyle \frac{y}{x+\frac{9}{2}}\times \frac{y}{x+2}=-1\),\( \displaystyle x^2+\frac{13}{2}x+9+y^2 = 0\),橢圓整理成\(\displaystyle \frac{5}{9}x^2+y^2=5\)
相減求出\(\displaystyle x=-12或-\frac{21}{8}\),-12不合,代回橢圓求出\(\displaystyle y = \pm\frac{5\sqrt{3}}{8}\)(正不合)

[[i] 本帖最後由 BambooLotus 於 2025-3-8 08:10 編輯 [/i]]

kobelian 發表於 2025-3-8 08:16

想請問 填充 1 , 2 , 7 , 12 ,14

Bufi 發表於 2025-3-8 08:52

回覆 4# kobelian 的帖子

填充12
可以將上面那條式子看成兩個圖形同時正跟同時負的狀況去看區域
所以整個題目的圖形就可以畫出來
接下來就是利用線性規劃去看題目求的那條線在什麼時候切到這些區域會有最小值

Bufi 發表於 2025-3-8 08:57

回覆 4# kobelian 的帖子

填充2
將a代換成x代進去題目給的式子
稍微整理一下就有兩種情況可以討論 並且有一個情況會為定值
之後在這個情況的結果去反推a的範圍

Bufi 發表於 2025-3-8 09:01

回覆 4# kobelian 的帖子

填充7
這題我考試的時候沒想到其中一個也要討論的情況
除了要討論三次函數圖形與x軸的交點範圍外
你還要去討論說這個三次函數的極大極小值發生的時候是否會在第二象限的那條線上以及是否會在第四象限的那條線下

cut6997 發表於 2025-3-8 09:08

1易知f(x)是一次函數,設f(x)=ax+b,則f(t)=at+b,爆開比較係數
12.2x-y=k從上往下壓切圓,答案應該是1-sqrt(5),但符合第一行式子的限制的話,於雙曲線與圓交點(0.4,1.8) (一大早起來看沒看到x在分母)

[[i] 本帖最後由 cut6997 於 2025-3-8 10:47 編輯 [/i]]

余師傅 發表於 2025-3-8 09:43

回覆 3# BambooLotus 的帖子

謝謝老師,我全部都停在第一行然後不敢爆開,看來是不夠勇敢

Superconan 發表於 2025-3-8 09:49

回覆 8# cut6997 的帖子

請教填充1,f(x) 並沒有定義它是多項式函數,要怎麼確定這件事?

余師傅 發表於 2025-3-8 09:55

填充12
y=18/(25x) 是一個雙曲線,第一個不等式得知要同時在 y=x 或 y=18/(25x) 的上方或下方(可用ggb或desmos畫畫看)
第二個不等式得知在園內或邊界上
透過線性規劃可知答案要取通過圓和雙曲線的點(看不出來的話就把直線和圓的交點也算出來比大小)
令x=1+cost,y=1+sint 代入xy=18/25 得到 sint*cost+sint+cost=-7/25(其實到這一步可以猜答案了,猜不到就繼續算)
令sint+cost=k,此時sint*cost=(k^2-1)/2 解 k再回來解 sint, cost 即可

Ellipse 發表於 2025-3-8 10:36

[quote]原帖由 [i]Superconan[/i] 於 2025-3-8 09:49 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=26744&ptid=3938][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教填充1,f(x) 並沒有定義它是多項式函數,要怎麼確定這件事? [/quote]
等式左右對x微分, 就可以知道了

satsuki931000 發表於 2025-3-8 11:06

7. 不太聰明的方法,可能也有一點敘述不清,還請指教
考慮 \(x<0\) 的情況,兩圖形要有3交點
首先畫圖易知\(f(0)=6a^2-8<0\),即\(\displaystyle a^2<\frac{4}{3}\)
又因為\(f(x)\)必定通過原點,所以只要滿足上述條件並且保證讓f(x)與\(y=x+2\)有非相切的交點即可
考慮\(f(x)=x^3-3a^2x\) 與 \(g(x)=x+2\)需要有兩個交點

\(x^3-(3a^2+1)x\) 的極大值為\(\displaystyle \frac{2(3a^2+1)\sqrt{3a^2+1}}{3\sqrt{3}}<2\)
解得\(\displaystyle a^2>\frac{2}{3}\)
故\(\displaystyle\frac{2}{3}<a^2<\frac{4}{3}\) ,所以\(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}<a<\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 11:13 編輯 [/i]]

Bufi 發表於 2025-3-8 11:21

想詢問填充6,11,14 謝謝

thepiano 發表於 2025-3-8 11:44

回覆 2# 余師傅 的帖子

計算第 1 題
x^2/9 + y^2/5 = 1
a = 3,b = √5,c = 2
F_1(-2,0)、Q(-9/2,0),B(x,y)
y^2 = 5 - (5/9)x^2

x = -9/2 是橢圓的準線
作 BP 垂直 x = -9/2 於 P
則 BF_1/BP = c/a = 2/3
BP = x + 9/2,BF_1 = (2/3)x + 3,PQ = -y

QB⊥AB
QF_1^2 - BF_1^2 = BQ^2 = BP^2 + PQ^2
(5/2)^2 - [(2/3)x + 3]^2 = (x + 9/2)^2 + [5 - (5/9)x^2]
x = -21/8 or -12(不合)

B(-21/8,-(5/8)√3)

直線 L 之斜率為 √3

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 11:52 編輯 [/i]]

satsuki931000 發表於 2025-3-8 13:32

回覆 14# Bufi 的帖子

11.設\(g(x)=f(x+2)-2\),\(h(x)=f(2x+1)\)
因為\(g(x)\)為奇函數,可以得到\(f(x+2)+f(-x+2)=4\)
因為\(h(x)\)為偶函數,可以得到\(f(2x+1)=f(-2x+1)\)

由奇函數的條件,有
\(f(2)=f(0)\)
\(f(3)=f(-1)\)
\(f(4)=f(-2)\)...
由偶函數的條件
\(f(3)+f(1)=4\)
\(f(4)+f(0)=4 \Rightarrow f(4)+f(2)=4\)
\(f(5)+f(-1)=4 \Rightarrow f(5)+f(3)=4\)

因此\(f(1),f(2)\cdots f(2025)\)每四個一組為一循環
\(f(1)=0,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=2 \cdots f(2025)=0\)
為\(8\times 506=4048\)

[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-8 13:44 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2025-3-8 13:42

回覆 14# Bufi 的帖子

第 14 題
已知函數\(f(x)=x^2-x+\sqrt{2x^4-6x^2+8x+16}\)在\(x=a\)時有最小值\(m\),則數對\((a,m)=\)[u]   [/u]。
[解答]
f(x) = x^2 - x + √(2x^4 - 6x^2 + 8x + 16)
= √2{|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]}

|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
即 y = x^2 上一點 A(x,x^2) 到直線 y = x 之距離與到 B(-2,2) 之距離和
點 A 為 y = -x 與 y = x^2 之交點
最小值為 OB = 2√2

m = 4

-x = x^2,x = 0 or -1

所求為 (0,4) or (-1,4)

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 13:54 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2025-3-8 15:00

回覆 14# Bufi 的帖子

第 6 題
如圖,上底 6,下底 1,腰長 x 之等腰梯形
紅高 = (√3/2) * 6 - x - (√3/2) * 1 = (5/2)√3 - x

((5/2)√3 - x)^2 + (5/2)^2 = x^2
x = 5/√3

三角錐之高 = √[(5/√3)^2 - (√3/3)^2] = 2√2

三角錐之體積 = (1/3) * (√3/4) * 2^2 * 2√2 = (2/3)√6

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2025-3-8 17:16 編輯 [/i]]

peter0210 發表於 2025-3-8 17:08

填充6
請教piano老師,這裡的式子為何多需要除以2

thepiano 發表於 2025-3-8 17:17

回覆 19# peter0210 的帖子

抱歉,複製貼上時錯誤,已更正。

頁: [1] 2

論壇程式使用 Discuz! Archiver   © 2001-2022 Comsenz Inc.