Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 101高雄市聯招

cefepime 發表於 2016-10-8 23:58

[size=3]14. 設 θ = 2π/49，求 1 + 2*cosθ + 3*cos2θ + ... + 49*cos48θ。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: 本題除了利用極式，也可以用對稱性 : cosφ = cos(2π-φ)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]θ = 2π/49，[/size][size=3]令[/size]
[size=3][/size]
[size=3]S = 1 + 2*cosθ + 3*cos2θ + ... + 49*cos48θ ...(1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]S = 1 + 2*cos48θ + 3*cos47θ + ... + 49*cosθ ...(2)[/size]

[size=3](1) + (2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]2S = 2 + 51*(cosθ + cos2θ + ... + cos48θ ) = 2 + 51*(-1) = -49[/size]
[size=3][/size]
[size=3]S = [color=red]-49/2[/color][/size]
[size=3][color=#ff0000][/color][/size]
[size=3][color=#ff0000][/color][/size]

anyway13 發表於 2020-2-22 17:37

請教第1題

參考版上老師的做法,解出B(1,2,1),假設C(m,n,p)
利用已知條件,當AB向量垂直AC向量得到三角形ABC面積最大
4m+3n+p=37......(1)

接者利用C點落在平面E上得到,2m+n+3p=7......(2)

最後再利用AB線段=AC線段=根號26
(m-5)^2+(n-5)^2+(p-2)^2=26......(3)

得到m=-4p-8, n=5p+23代入(3)得到42p^2+280p+471=0
p解出複數根,請問哪裡做錯了?

thepiano 發表於 2020-2-22 19:49

回復 42# anyway13 的帖子

△ABC 面積最大時，AB 和 AC 並不會垂直
解法請看一樓一心老師的提示

anyway13 發表於 2020-2-22 20:35

回復 43# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師解惑,C解出來了.C(5,6,-3)

本來以為,(0.5)(AB)(AC)sin90度才會是最大值,結果這樣的話,C居然是複數根(不存在E上)

克勞棣 發表於 2020-2-23 19:49

回復 41# cefepime 的帖子

那請問為什麼θ = 2π/49，則cosθ + cos2θ + ... + cos24θ = -1/2呢？或者說，為什麼cosθ + cos2θ + ... + cos48θ = -1呢？謝謝！

thepiano 發表於 2020-2-23 21:10

回復 45# 克勞棣 的帖子

θ = (2/49)π，cosθ + cos2θ + ... + cos48θ = -1
用尤拉公式，取實部

克勞棣 發表於 2020-2-29 02:58

回復 46# thepiano 的帖子

所以閣下的意思是這樣嗎？
(抱歉！下面的"n是非負整數"是錯的，應該是"n是正整數")
[img]https://i.imgur.com/qws9tBl.png[/img]

thepiano 發表於 2020-2-29 10:14

回復 47# 克勞棣 的帖子

對

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